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Osciladores de un Resorte
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En el caso del resorte la fuerza es proporcional a la elongación del resorte con lo que las ecuaciones de movimiento son lineales y la frecuencia de la oscilación es independiente de la amplitud. Esto es la clave para lograr generar una oscilación que no dependa se que con el roce con el tiempo la amplitud decrezca. Por ello relojes antiguos usaban resortes (circulares) para generar oscilaciones estables para medir el tiempo transcurrido.
ID:(1425, 0)
Osciladores de un Resorte
Descripción
En el caso del resorte la fuerza es proporcional a la elongación del resorte con lo que las ecuaciones de movimiento son lineales y la frecuencia de la oscilación es independiente de la amplitud. Esto es la clave para lograr generar una oscilación que no dependa se que con el roce con el tiempo la amplitud decrezca. Por ello relojes antiguos usaban resortes (circulares) para generar oscilaciones estables para medir el tiempo transcurrido.
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Ecuaciones
En el caso el stico (resorte) la fuerza es
| $$ |
con
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
\\n\\nLa diferencia\\n\\n
$\Delta x = x_2 - x_1$
\\n\\ncorresponde al camino recorrido por lo que\\n\\n
$\Delta W=k,x,\Delta x=k(x_2-x_1)\displaystyle\frac{(x_1+x_2)}{2}=\displaystyle\frac{k}{2}(x_2^2-x_1^2)$
y con ello la energ a potencial el stica es
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$ |
(ID 3246)
En el caso el stico (resorte) la fuerza es
| $$ |
con
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
\\n\\nLa diferencia\\n\\n
$\Delta x = x_2 - x_1$
\\n\\ncorresponde al camino recorrido por lo que\\n\\n
$\Delta W=k,x,\Delta x=k(x_2-x_1)\displaystyle\frac{(x_1+x_2)}{2}=\displaystyle\frac{k}{2}(x_2^2-x_1^2)$
y con ello la energ a potencial el stica es
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$ |
(ID 3246)
(ID 3687)
Dado que la energ a cin tica es igual a
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
y el momento es
| $ p = m_i v $ |
podemos expresarlo como
$K_t=\displaystyle\frac{1}{2} m_i v^2=\displaystyle\frac{1}{2} m_i \left(\displaystyle\frac{p}{m_i}\right)^2=\displaystyle\frac{p^2}{2m_i}$
es decir,
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
(ID 4425)
(ID 10283)
(ID 12338)
Utilizando el n mero complejo
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
introducido en
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
obtenemos
$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$
por lo tanto, la velocidad se obtiene como la parte real
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
(ID 14076)
Ejemplos
(ID 15848)
Uno de los sistemas que ilustra es el de un resorte. Este se relaciona con la deformaci n el stica del material del que est compuesto el resorte. Cuando hablamos de "el stica", nos referimos a una deformaci n que, al eliminar la tensi n aplicada, permite que el sistema recupere completamente su forma original. Se entiende que no sufre una deformaci n pl stica.
Dado que la energ a del resorte est dada por
$E=\displaystyle\frac{1}{2}m_i v^2+\displaystyle\frac{1}{2}k x^2$
el per odo ser igual a
$T=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m_i}{k}}$
y, por lo tanto, la frecuencia angular es
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$ |
(ID 15563)
(ID 15851)
La energía total ($E$) corresponde a la suma de la energía cinética total ($K$) y la energía potencial ($V$):
| $ E = K + V $ |
(ID 3687)
La energ a cin tica de una masa $m$
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
puede expresarse en funci n del momento como
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
(ID 4425)
En el caso el stico (resorte) la fuerza es
| $$ |
la energ a
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
se puede mostrar que en este caso es
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$ |
(ID 3246)
En el caso el stico (resorte) la fuerza es
| $$ |
la energ a
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
se puede mostrar que en este caso es
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$ |
(ID 3246)
El producto de la constante de Hooke ($k$) y la masa inercial ($m_i$) se denomina la frecuencia angular del resorte ($\omega$) y se define como:
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$ |
(ID 1242)
El momento ($p$) se calcula a partir de la masa inercial ($m_i$) y la velocidad ($v$) mediante
| $ p = m_i v $ |
(ID 10283)
La período ($T$) se determina a partir de la masa inercial ($m_i$) y la constante de Hooke ($k$) mediante:
| $ T =2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m_i }{ k }}$ |
(ID 7106)
La frecuencia del sonido ($\nu$) representa la cantidad de oscilaciones que ocurren en un segundo. Mientras tanto, la período ($T$) es el tiempo que tarda una sola oscilaci n. Por lo tanto, el n mero de oscilaciones por segundo es:
| $ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
La frecuencia se expresa en Hertz (Hz).
(ID 4427)
La frecuencia angular ($\omega$) es con la período ($T$) igual a
| $ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
(ID 12335)
La relación entre la frecuencia angular ($\omega$) y la frecuencia del sonido ($\nu$) se expresa como:
| $ \omega = 2 \pi \nu $ |
(ID 12338)
Con la descripci n de la oscilaci n usando
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
la parte real corresponde a la evoluci n temporal de la amplitud
| $ x = x_0 \cos \omega_0 t $ |
(ID 14074)
Al obtener la parte real de la derivada del n mero complejo que representa la oscilaci n
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
cuya parte real se refiere a la velocidad
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
(ID 14076)
ID:(1425, 0)