(ID 16244)

Dans lespace des phases, loscillation est représentée par une ellipse :

Son expression mathématique générale est :

$\displaystyle\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

où les paramètres $a$ et $b$ correspondent respectivement aux demi-grands et demi-petits axes.

Cette trajectoire peut également être décrite de manière paramétrique à laide dun paramètre $u$, qui varie de $0$ à $2\pi$, avec les fonctions trigonométriques suivantes :

$x = a \cos u$

et

$y = b \sin u$

(ID 7105)

Dans le cas dun ressort, lénergie totale ERROR:9787, qui se conserve, est composée de a travaux initiaux ($W_0$), associée à A masse d'inertie ($m_i$) et a vitesse ($v$) :

La a énergie potentielle ($V$) du ressort est liée à A constante de Hooke ($k$) et a position ($x$) :

Ainsi, lénergie totale ERROR:9787 sexprime comme :

$E_k=\displaystyle\frac{1}{2}m_iv^2+\displaystyle\frac{1}{2}kx^2$

Si cette expression est réécrite comme :

on constate quelle correspond à une ellipse dans lespace vitesse a vitesse ($v$) et allongement a position ($x$), dont les demi-axes sont :

$a=\sqrt{\displaystyle\frac{2E_k}{k}}=x_0$

, et

$b=\sqrt{\displaystyle\frac{2E_k}{m_i}}=v_0$

.

Les demi-axes correspondent respectivement à lamplitude maximale x_0 et à la vitesse maximale v_0.

(ID 16238)

Dans le cas de lamplitude, qui correspond à notre coordonnée a position ($x$), le demi-axe dépend de ERROR:9787 et de a constante de Hooke ($k$) :

$a=\sqrt{\displaystyle\frac{2E_k}{k}}$

De plus, le temps ($t$) est mis à léchelle avec a période ($T$) :

$u=\displaystyle\frac{2\pi t}{T}$

Par conséquent, lamplitude sexprime comme :

(ID 16239)

Dans le cas de lamplitude, qui correspond à notre coordonnée a vitesse ($v$), le demi-axe dépend de ERROR:9787 et de a masse d'inertie ($m_i$) :

$b=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}$

De même, le temps ($t$) est mis à léchelle avec a période ($T$) :

$u=\displaystyle\frac{2\pi t}{T}$

Par conséquent, lamplitude sexprime comme :

(ID 16240)

Étant donné que a fréquence angulaire ($\omega$), avec a période ($T$), est égal à :

et que a fréquence du son ($\nu$) est égal à :

on obtient que :

(ID 16242)

Comme loscillation obéit aux lois physiques, il est possible dutiliser le fait que laire sous la courbe a vitesse ($v$) en fonction de le temps ($t$) correspond au chemin parcouru, ce qui permet de déterminer la période. Étant donné que a vitesse ($v$) dépend de ERROR:9787, a masse d'inertie ($m_i$) et a période ($T$) :

$\displaystyle\int_0^{T/2}v(t)dt=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}\displaystyle\int_0^{T/2}\cos \displaystyle\frac{2\pi t}{T}dt=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}\displaystyle\frac{T}{\pi}$

La distance entre un minimum et un maximum de lallongement cest-à-dire entre les instants 0 et T/2 est, en utilisant a constante de Hooke ($k$), égale à :

$x_{max}-x_{min}=2\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{k}}$

On en déduit que :

(ID 16241)

(ID 16243)

Avec ERROR:9787, a masse d'inertie ($m_i$) et a constante de Hooke ($k$), il est possible de définir une ellipse dans le plan a position ($x$) ERROR:9769 comme suit :

(ID 7101)

A position ($x$) est déterminé à partir de ERROR:9787, a constante de Hooke ($k$) et a période ($T$), en fonction de le temps ($t$) :

(ID 7102)

A vitesse ($v$) est déterminé à partir de ERROR:9787, a masse d'inertie ($m_i$) et a période ($T$), en fonction de le temps ($t$) :

(ID 7104)

A période ($T$) est déterminé à partir de a masse d'inertie ($m_i$) et a constante de Hooke ($k$) au moyen de :

(ID 7106)

A fréquence du son ($\nu$) correspond au nombre de fois qu'une oscillation se produit en une seconde. A période ($T$) repr sente le temps n cessaire une seule oscillation. Par cons quent, le nombre d'oscillations par seconde est :

La fr quence est indiqu e en Hertz (Hz).

(ID 4427)

La relation entre a fréquence angulaire ($\omega$) et a fréquence du son ($\nu$) sexprime comme :

(ID 12338)

Le produit de a constante de Hooke ($k$) et a masse d'inertie ($m_i$) est appel a fréquence angulaire du ressort ($\omega$) et est d fini comme suit :

(ID 1242)