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Energia cinética rotacional e momentos de inércia
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A energia cinética de rotação é uma função da velocidade angular alcançada através da aplicação de um torque durante um certo tempo, enquanto percorre um determinado ângulo.
Assim, a energia cinética de rotação é proporcional ao momento de inércia do objeto e ao quadrado da velocidade angular.
ID:(1417, 0)
Barra que gira em torno de um eixo $\perp$
Descrição
Uma barra com massa $m$ e comprimento $l$ que gira em torno do seu centro, que coincide com o centro de massa:
ID:(10962, 0)
Cilindro que gira em torno do eixo $\parallel$
Descrição
Uma rotação de um cilindro com massa $m$ e raio $r$ em torno do eixo do cilindro, onde o centro de massa (CM) está localizado a meia altura:
ID:(10964, 0)
Cilindro que gira em torno do eixo $\perp$
Descrição
Neste cenário, um cilindro com massa $m$, raio $r$ e altura $h$ está girando em torno de um eixo perpendicular ao seu próprio eixo. Esse eixo passa pelo ponto médio do comprimento do cilindro, onde se encontra o centro de massa (CM):
ID:(10965, 0)
Esfera
Descrição
Uma esfera com massa $m$ e raio $r$ está girando em torno do seu centro de massa, que se localiza no centro da esfera:
ID:(10490, 0)
Momento de inércia de um paralelepípedo regular
Descrição
Um paralelepípedo reto com massa $m$ e lados $a$ e $b$, perpendicular ao eixo de rotação, está girando em torno de seu centro de massa, que se encontra no centro geométrico do corpo:
ID:(10973, 0)
Paralelepípedo direito
Descrição
No caso de um paralelepípedo reto com massa $m$ e lado $a$, o centro de massa está localizado no centro geométrico:
ID:(10963, 0)
Momento de inércia
Descrição
Na dinâmica rotacional, o momento de inércia desempenha um papel equivalente ao da massa inercial na translação. No entanto, ao contrário da massa, o momento de inércia depende da geometria do corpo e de como a sua massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Por isso, o seu cálculo é essencial para cada situação que se pretenda modelar.
Variáveis
Cálculos
para 
,
depois, selecione a variável: 
para 
Cálculos
Variáve
Dado
Calcular
Objetivo :
Equação
A ser usado
Equações
La variação de trabalho ($\Delta W$) necessária para que um objeto mude de la velocidade angular inicial ($\omega_0$) para la velocidade angular ($\omega$) é obtida aplicando um la torque ($T$) que gera um deslocamento angular la diferença de ângulos ($\Delta\theta$), de acordo com:
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
Aplicando a segunda lei de Newton para rotação, em função de la momento de inércia do eixo que não passa pelo CM ($I$) e la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$):
| $ T = I \alpha $ |
essa expressão pode ser reescrita como:
$\Delta W = I \alpha \Delta\theta$
ou, utilizando la diferença de velocidades angulares ($\Delta\omega$) e o tempo decorrido ($\Delta t$):
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
temos:
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta$
Utilizando a definição de la velocidade angular média ($\bar{\omega}$) e o tempo decorrido ($\Delta t$):
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
obtém-se:
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega$
onde la diferença de velocidades angulares ($\Delta\omega$) é expresso como:
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
Por outro lado, a velocidade angular pode ser aproximada pela velocidade angular média:
$\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}$
Combinando ambas as expressões, obtemos:
$\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)$
Assim, a variação da energia é expressa como:
$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Isso nos permite definir a energia cinética de rotação como:
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 3255)
O momento de in rcia de uma barra que est em rota o em torno de um eixo perpendicular ($\perp$) que passa pelo centro obtido ao dividir o corpo em pequenos volumes e som -los:
| $$ |
resultando em
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m l ^2$ |
.
(ID 4432)
O momento de in rcia de um paralelep pedo que est em rota o em torno de um eixo que passa pelo centro obtido ao dividir o corpo em pequenos volumes e som -los:
| $$ |
resultando em
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( a ^2+ b ^2)$ |
.
(ID 4433)
O momento de in rcia de um cilindro que est em rota o em torno de um eixo paralelo ($\parallel$) que passa pelo centro obtido ao dividir o corpo em pequenos volumes e som -los:
| $$ |
resultando em
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r_c ^2$ |
.
(ID 4434)
O momento de in rcia de um cilindro que est em rota o em torno de um eixo perpendicular ($\perp$) que passa pelo centro obtido ao dividir o corpo em pequenos volumes e som -los:
| $$ |
resultando em
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( h ^2+3 r_c ^2)$ |
.
(ID 4435)
O momento de in rcia de uma esfera que gira em torno de um eixo que passa pelo centro obtido pela segmenta o do corpo em pequenos volumes e somando:
| $$ |
resultando em
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r_e ^2$ |
.
(ID 4436)
Exemplos
(ID 15604)
Uma barra com massa $m$ e comprimento $l$ que gira em torno do seu centro, que coincide com o centro de massa:
(ID 10962)
Uma rota o de um cilindro com massa $m$ e raio $r$ em torno do eixo do cilindro, onde o centro de massa (CM) est localizado a meia altura:
(ID 10964)
Neste cen rio, um cilindro com massa $m$, raio $r$ e altura $h$ est girando em torno de um eixo perpendicular ao seu pr prio eixo. Esse eixo passa pelo ponto m dio do comprimento do cilindro, onde se encontra o centro de massa (CM):
(ID 10965)
Uma esfera com massa $m$ e raio $r$ est girando em torno do seu centro de massa, que se localiza no centro da esfera:
(ID 10490)
Um paralelep pedo reto com massa $m$ e lados $a$ e $b$, perpendicular ao eixo de rota o, est girando em torno de seu centro de massa, que se encontra no centro geom trico do corpo:
(ID 10973)
No caso de um paralelep pedo reto com massa $m$ e lado $a$, o centro de massa est localizado no centro geom trico:
(ID 10963)
(ID 15606)
La momento de inércia do eixo que não passa pelo CM ($I$) pode ser calculado usando la momento de inércia do centro de massa ($I_{CM}$) e somando o momento de in rcia de la massa corporal ($m$) como se fosse uma massa pontual em la distância centro de massa e eixo ($d$):
| $ I = I_{CM} + m d ^2$ |
(ID 3688)
La momento de inércia CM de uma barra fina, eixo perpendicular ($I_{CM}$) é obtido em função de la massa corporal ($m$) e la comprimento da barra fina ($l$):
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m l ^2$ |
(ID 4432)
La momento de inércia CM de um cilindro, eixo paralelo ao eixo do cilindro ($I_{CM}$) é obtido em função de la massa corporal ($m$) e la raio do cilindro ($r_c$):
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r_c ^2$ |
(ID 4434)
ERROR:5325 é obtido em função de la massa corporal ($m$), la altura do cilindro ($h$) e la raio do cilindro ($r_c$):
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( h ^2+3 r_c ^2)$ |
(ID 4435)
La momento de inércia CM de uma barra fina, eixo perpendicular ($I_{CM}$) é obtido em função de la massa corporal ($m$), la comprimento da aresta de um paralelepípedo reto ($a$) e la largura da aresta de um paralelepípedo reto ($b$):
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( a ^2+ b ^2)$ |
(ID 4433)
La momento de Inércia CM de uma Esfera ($I_{CM}$) é obtido em função de la massa corporal ($m$) e la raio da esfera ($r_e$):
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r_e ^2$ |
(ID 4436)
La energia cinética rotacional ($K_r$) é uma função de la velocidade angular ($\omega$) e de uma medida de inércia representada por la momento de inércia do eixo que não passa pelo CM ($I$):
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 3255)
ID:(1417, 0)