Utilizador:
Diagrama no espaço momento-posição $p-q$
Descrição
Uma técnica para analisar o movimento é representar o momento em função da posição de um corpo em movimento. Essa representação permite estudar como o momento evolui de acordo com a posição alcançada.
A representação do movimento no espaço momento-posição $p-q$ permite analisar a evolução do deslocamento, mostrando extremos na posição e no momento.
No caso de um movimento periódico ou quando consideramos o caminho de ida e volta, isso pode ser representado como:
Além disso, podemos observar que a área circundada pela curva
$\displaystyle\int_{q_1}^{q_2} p dq = \displaystyle\int_{v_1}^{v_2} m v dv = \displaystyle\frac{1}{2} m v_2^2 - \displaystyle\frac{1}{2} m v_1^2$
corresponde à energia do sistema.
A área circundando a curva no diagrama momento-posição $p-q$ corresponde à energia do sistema.
ID:(1240, 0)
Espaço de fase
Descrição
Variáveis
Cálculos
para 
,
depois, selecione a variável: 
para 
Cálculos
Variáve
Dado
Calcular
Objetivo :
Equação
A ser usado
Equações
Como a energia cin tica
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
e a energia potencial
| $ V = - \displaystyle\frac{ G m_g M }{ r } $ |
podemos expressar a energia em fun o do raio representado pela vari vel $q$ da seguinte forma
| $ E_G = \displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i } - \displaystyle\frac{ G m_g M }{ q }$ |
No caso em que a energia cin tica supera a energia potencial no raio inicial e a energia positiva (indicando que o objeto pode escapar do planeta), a equa o pode ser escrita como
$1 = \left(\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2mE}}\right)^2 - \displaystyle\frac{GmM}{Eq}$
ou seja,
$y=\pm\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}$
com
$x=\displaystyle\frac{q}{GmM/E}$
, e
$y=\displaystyle\frac{p}{2mE}$
No caso em que a energia cin tica n o supera a energia potencial (indicando que o objeto n o pode escapar da atra o do planeta), a energia negativa e a express o escrita como
$1 = -\left(\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2mE}}\right)^2 + \displaystyle\frac{GmM}{Eq}$
onde $E$ o valor absoluto da energia, e com as defini es de $x$ e $y", temos
$y=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{1}{x}-1}$
(ID 1185)
A energia cin tica em fun o do momento
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
e a energia potencial em fun o da altura
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
portanto, se expressarmos a elonga o como a posi o
$x = q$
obtemos
| $ E_s =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+\displaystyle\frac{ k }{2} q ^2$ |
(ID 1187)
Como a energia cin tica igual a
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
e o momento
| $ p = m_i v $ |
podemos express -la como
$K_t=\displaystyle\frac{1}{2} m_i v^2=\displaystyle\frac{1}{2} m_i \left(\displaystyle\frac{p}{m_i}\right)^2=\displaystyle\frac{p^2}{2m_i}$
ou seja
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
(ID 4425)
Como a energia cin tica em fun o do momento
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
e a energia potencial em fun o da altura
| $ V = - m_g g z $ |
portanto, se expressarmos a altura como a posi o
$h = q$
obtemos
| $ E =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+ m_g g q $ |
(ID 4426)
Como geralmente a energia a soma da energia cin tica
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
e da energia potencial
$E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+U$
Quando resolvemos para o momento, obtemos a seguinte express o:
| $ p =\pm\sqrt{2 m ( E - U )}$ |
(ID 4429)
Exemplos
Uma t cnica para analisar o movimento representar o momento em fun o da posi o de um corpo em movimento. Essa representa o permite estudar como o momento evolui de acordo com a posi o alcan ada.
A representa o do movimento no espa o momento-posi o $p-q$ permite analisar a evolu o do deslocamento, mostrando extremos na posi o e no momento.
No caso de um movimento peri dico ou quando consideramos o caminho de ida e volta, isso pode ser representado como:
Al m disso, podemos observar que a rea circundada pela curva
$\displaystyle\int_{q_1}^{q_2} p dq = \displaystyle\int_{v_1}^{v_2} m v dv = \displaystyle\frac{1}{2} m v_2^2 - \displaystyle\frac{1}{2} m v_1^2$
corresponde energia do sistema.
A rea circundando a curva no diagrama momento-posi o $p-q$ corresponde energia do sistema.
(ID 1240)
A energia cin tica de uma massa $m$
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
pode ser escrita em termos do momento como
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
(ID 4425)
Se isolarmos a energia em rela o ao momento, obtemos as express es para o momento positivo e negativo:
| $ p =\pm\sqrt{2 m ( E - U )}$ |
(ID 4429)
Para o caso de uma part cula no campo gravitacional da Terra, a energia em fun o do momento $p$ e posi o $q$
| $ E =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+ m_g g q $ |
A equa o pode ser escrita de forma adimensional como
$y=\pm\sqrt{1-x}$
com
$x=\displaystyle\frac{q}{mg/E}$
, e
$y=\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2mE}}$
que representada abaixo
(ID 4426)
Para o caso de uma massa oscilando com uma mola, a energia em fun o do momento $p$ e da posi o $q$
| $ E_s =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+\displaystyle\frac{ k }{2} q ^2$ |
A equa o pode ser escrita de forma adimensional como
$1=y^2 + x^2$
com
$x=\displaystyle\frac{q}{\sqrt{2E/k}}$
, e
$y=\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2m_iE}}$
quando resolvido para
$y=\pm\sqrt{1-x^2}$
Sua representa o no plano xy mostrada abaixo
(ID 1187)
Para o caso de uma massa no campo gravitacional, a energia em fun o do momento
| $ E_G = \displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i } - \displaystyle\frac{ G m_g M }{ q }$ |
A equa o pode ser escrita de forma adimensional para o caso de energia positiva, como as curvas azul e verde:
$y=\pm\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}$
E para o caso de energia negativa, usando as curvas vermelha e violeta:
$y=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{1}{x}-1}$
Onde:
$x=\displaystyle\frac{q}{GmM/E}$
, e
$y=\displaystyle\frac{p}{2mE}$
Tudo isso representado abaixo:
(ID 1185)
ID:(1659, 0)