Utilisateur:
Diagramme dans l'espace de position d'impulsion $p-q$
Description
Une technique d'analyse du mouvement consiste à représenter le moment en fonction de la position d'un corps en déplacement. Cette représentation permet d'étudier comment le moment évolue en fonction de la position atteinte.
La représentation du mouvement dans l'espace moment-position $p-q$ permet d'analyser l'évolution du déplacement en montrant les extrêmes de la position et du moment.
Dans le cas d'un mouvement périodique ou lorsque nous considérons le trajet aller-retour, cela peut être représenté comme ceci :
De plus, nous pouvons observer que la zone entourée par la courbe
$\displaystyle\int_{q_1}^{q_2} p dq = \displaystyle\int_{v_1}^{v_2} m v dv = \displaystyle\frac{1}{2} m v_2^2 - \displaystyle\frac{1}{2} m v_1^2$
correspond à l'énergie du système.
La zone entourant la courbe sur le diagramme moment-position $p-q$ correspond à l'énergie du système.
ID:(1240, 0)
Espace des phases
Description
Variables
Calculs
à 
,
puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Variable
Donnée
Calculer
Cible :
Équation
À utiliser
Équations
Comme l' nergie cin tique est
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
et l' nergie potentielle est
| $ V = - \displaystyle\frac{ G m_g M }{ r } $ |
on peut exprimer l' nergie en fonction du rayon repr sent par la variable $q$ comme suit
| $ E_G = \displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i } - \displaystyle\frac{ G m_g M }{ q }$ |
Dans le cas o l' nergie cin tique d passe l' nergie potentielle au rayon initial et que l' nergie est positive (indiquant que l'objet peut s' chapper de la plan te), l' quation peut tre crite comme
$1 = \left(\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2mE}}\right)^2 - \displaystyle\frac{GmM}{Eq}$
c'est- -dire,
$y=\pm\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}$
avec
$x=\displaystyle\frac{q}{GmM/E}$
, et
$y=\displaystyle\frac{p}{2mE}$
Dans le cas o l' nergie cin tique ne d passe pas l' nergie potentielle (indiquant que l'objet ne peut pas chapper l'attraction de la plan te), l' nergie est n gative et l'expression est crite comme
$1 = -\left(\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2mE}}\right)^2 + \displaystyle\frac{GmM}{Eq}$
o $E$ est la valeur absolue de l' nergie, et avec les d finitions de $x" et $y", nous avons
$y=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{1}{x}-1}$
(ID 1185)
L' nergie cin tique en fonction du moment est
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
et l' nergie potentielle en fonction de la hauteur est
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
donc si l'on exprime l'allongement comme la position
$x = q$
nous obtenons
| $ E_s =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+\displaystyle\frac{ k }{2} q ^2$ |
(ID 1187)
Comme l' nergie cin tique est gale
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
et le moment est
| $ p = m_i v $ |
nous pouvons l'exprimer comme
$K_t=\displaystyle\frac{1}{2} m_i v^2=\displaystyle\frac{1}{2} m_i \left(\displaystyle\frac{p}{m_i}\right)^2=\displaystyle\frac{p^2}{2m_i}$
c'est- -dire
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
(ID 4425)
Comme l' nergie cin tique en fonction du moment est
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
et l' nergie potentielle en fonction de la hauteur est
| $ V = - m_g g z $ |
donc, si on exprime la hauteur comme la position
$h = q$
on obtient
| $ E =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+ m_g g q $ |
(ID 4426)
En g n ral, l' nergie est la somme de l' nergie cin tique
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
et de l' nergie potentielle
$E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+U$
En r solvant pour le moment, on obtient l'expression suivante :
| $ p =\pm\sqrt{2 m ( E - U )}$ |
(ID 4429)
Exemples
Une technique d'analyse du mouvement consiste repr senter le moment en fonction de la position d'un corps en d placement. Cette repr sentation permet d' tudier comment le moment volue en fonction de la position atteinte.
La repr sentation du mouvement dans l'espace moment-position $p-q$ permet d'analyser l' volution du d placement en montrant les extr mes de la position et du moment.
Dans le cas d'un mouvement p riodique ou lorsque nous consid rons le trajet aller-retour, cela peut tre repr sent comme ceci :
De plus, nous pouvons observer que la zone entour e par la courbe
$\displaystyle\int_{q_1}^{q_2} p dq = \displaystyle\int_{v_1}^{v_2} m v dv = \displaystyle\frac{1}{2} m v_2^2 - \displaystyle\frac{1}{2} m v_1^2$
correspond l' nergie du syst me.
La zone entourant la courbe sur le diagramme moment-position $p-q$ correspond l' nergie du syst me.
(ID 1240)
L' nergie cin tique d'une masse $m$
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
peut tre exprim e en fonction du moment comme
| $ K =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }$ |
(ID 4425)
Si on isole l' nergie par rapport au moment, on obtient les expressions pour le moment positif et n gatif :
| $ p =\pm\sqrt{2 m ( E - U )}$ |
(ID 4429)
Pour le cas d'une particule dans le champ gravitationnel de la Terre, l' nergie en fonction du moment $p$ et de la position $q$ est
| $ E =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+ m_g g q $ |
L' quation peut tre crite de mani re adimensionnelle comme
$y=\pm\sqrt{1-x}$
avec
$x=\displaystyle\frac{q}{mg/E}$
, et
$y=\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2mE}}$
ce qui est repr sent ci-dessous
(ID 4426)
Pour le cas d'une masse oscillant avec un ressort, l' nergie en fonction du moment $p$ et de la position $q$ est
| $ E_s =\displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i }+\displaystyle\frac{ k }{2} q ^2$ |
L' quation peut tre crite sous forme adimensionnelle comme
$1=y^2 + x^2$
avec
$x=\displaystyle\frac{q}{\sqrt{2E/k}}$
, et
$y=\displaystyle\frac{p}{\sqrt{2m_iE}}$
lorsqu'elle est r solue pour
$y=\pm\sqrt{1-x^2}$
Sa repr sentation dans le plan xy est montr e ci-dessous
(ID 1187)
Pour le cas d'une masse dans un champ gravitationnel, l' nergie en fonction de la quantit de mouvement
| $ E_G = \displaystyle\frac{ p ^2}{2 m_i } - \displaystyle\frac{ G m_g M }{ q }$ |
L' quation peut tre exprim e de mani re adimensionnelle pour le cas d'une nergie positive, comme les courbes bleues et vertes :
$y=\pm\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}$
Et pour le cas d'une nergie n gative, en utilisant les courbes rouges et violettes :
$y=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{1}{x}-1}$
O :
$x=\displaystyle\frac{q}{GmM/E}$
, et
$y=\displaystyle\frac{p}{2mE}$
Tout cela est repr sent ci-dessous :
(ID 1185)
ID:(1659, 0)