Consideremos un corredor de masa corporal m_c que corre por un tiempo dt.

Generaci n de calor

V a el MET para la actividad se puede estimar que energ a requiri \Delta Q. Dicha energ a no se transforma solo en energ a mec nica \Delta W. Una parte de ella termina como calor \Delta Q_b que debe ser eliminado.

Que fracci n no es convertible en trabajo depende del coeficiente del rendimiento
u que se puede estimar de la energ a cal rica del alimento \Delta Q_f y de la energ a de Gibbs \Delta G_f del mismo.

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Antes de estudiar como se elimina el calor se puede explorar lo que pasar a si el calor no se elimina.

Peligro de sobre-calentar los m sculos

Uno de los efectos inmediatos de no eliminar el calor seria que la temperatura del musculo subir a a un valor T_m que se puede estimar con la capacidad cal rica del musculo c_m y la masa m_m de este.

Ante estos datos queda claro que es perentorio de que se elimine el calor del musculo para evitar da os. Como el musculo se encuentra al interior del cuerpo la nica forma que existe para remover el calor es v a los vasos sangu neos.

Para llegar con el calor a los vasos sangu neos, que se puede estimar est n a una temperatura corporal T_c es v a transporte cal rico. En este caso el calor ya se encuentra en el medio musculo y solo tiene que ser conducido hasta la superficie del vaso. Posteriormente es transmitido al torrente sangu neo.

La conducci n esta definida por el coeficiente de conducci n \lambda, la distancia origen en el m sculo y pared del vaso d, la superficie de los vasos comprometidos S y la diferencia de temperatura m xima tolerable \Delta T_{max}.

La transferencia entre pared del vaso y sangre depende del coeficiente de transmisi n $\mu$ que en este caso es igual a una constante \mu_o y una segunda constante \mu_1 que se multiplica por la velocidad del torrente de sangre v.

Para simplificar el calculo se puede modelar el sistema como un sistema de transporte con una sola interface (un conductor y una interface) con lo que se obtiene un coeficiente de transporte k_b.

(ID 596)

La superficie corporal depende del peso W y de la altura H de la forma

con coeficientes estimados por distintos autores:

Autor | Constante $C$ | Exponente $n$ | Exponente $m$ | Cita
--------|----------------|---------------------|----------------------|--------
Du Bois | 0.007184 | 0.425 | 0.725 | (1)
Mosteller | 0.016667 | 0.5 | 0.5 | (2)
Haycock | 0.024265 | 0.5378 | 0.3964 | (3)
Gehan and George | 0.0235 | 0.51456 | 0.42246 | (4)
Boyd | 0.03330 | * | 0.3 | (5)
Fujimoto | 0.008883 | 0.444 | 0.663 | (6)
Takahira | 0.007241 | 0.425 | H0.725 | (7)
Schlich (Woman) | 0.000975482 | 0.46 | 1.08 | (8)
Schlich (Men) | 0.000579479 | 0.38 | 1.24 | (8)

* $0.03330 W (0.6157 - 0.0188 log10(W))$

Referencias:
(1) Du Bois D, Du Bois EF (Jun 1916). 'A formula to estimate the approximate surface area if height and weight be known'. Archives of Internal Medicine 17 (6): 863-71. PMID 2520314. Retrieved 2012-09-09.
(2) Mosteller RD. 'Simplified calculation of body-surface area'. N Engl J Med 1987; 317:1098. PMID 3657876.
(3) Haycock GB, Schwartz GJ, Wisotsky DH 'Geometric method for measuring body surface area: A height-weight formula validated in infants, children and adults' J Pediatr 1978, 93:62-66.
(4) Gehan EA, George SL, Cancer Chemother Rep 1970, 54:225-235
(5) Boyd, Edith (1935). The Growth of the Surface Area of the Human Body. University of Minnesota. The Institute of Child Welfare, Monograph Series, No. x. London: Oxford University Press
(6) Fujimoto S, Watanabe T, Sakamoto A, Yukawa K, Morimoto K. Studies on the physical surface area of Japanese. 18. Calculation formulae in three stages over all ages. Nippon Eiseigaku Zasshi 1968;5:443-50.
(7) Fujimoto S, Watanabe T, Sakamoto A, Yukawa K, Morimoto K. Studies on the physical surface area of Japanese. 18. Calculation formulae in three stages over all ages. Nippon Eiseigaku Zasshi 1968;5:443-50.
(8) Schlich E, Schumm M, Schlich M: '3-D-Body-Scan als anthropometrisches Verfahren zur Bestimmung der spezifischen Korperoberflache'. Ernahrungs Umschau 2010;57:178-183

(ID 9575)

Los capilares que se encuentran dentro del musculo son responsables de eliminar el calor. Su radio es del orden de 4E-3mm y se encuentran a a un unos 6 di metros o sea una distancia de 4.8E-2mm:

http://www.lab.anhb.uwa.edu.au/mb140/

Si se modela el musculo como una colecci n de generadores puntuales de calor a una distancia igual a un medio de la distancia entre vasos (d=2.4\times 10^{-2}mm).

Si el volumen de los m sculos activos es igual a (16 kg \sim 16 ltrs)

V\sim 1.6\times 10^{-2} m^3

y cada secci n de tejido muscular en torno a un capilar es

\pi d^2\sim 1.8\times 10^{-3}mm^2=1.8\times 10^{-9}m^2

por lo que el largo total es

L\sim\displaystyle\frac{V}{\pi d^2}\sim 8.9\times 10^6m

Con el largo L y el per metro

2\pi r\sim 2.5\times 10^{-5}m

se obtiene finalmente una superficie interna de 222.5 m^2.

(ID 9010)

En la primera fase el calor abandona la zona del musculo/del rgano que genera el calor y es transportada hasta los vasos sangu neos.

Eliminaci n del calor de los m sculos

Dependiendo de la velocidad de la sangre, el calor es transferido a la sangre que transporta el calor hacia las zonas superficiales.

El modelo del transporte del calor entre musculo/ rgano y vasos se puede describir como un proceso de conducci n en el medio generador y tejidos adyacentes y luego la transferencia v a la superficie del vaso a la sangre.

(ID 718)

La temperatura corporal depende de la temperatura exterior y de la ropa que tengamos puesta. En el siguiente diagrama vemos a una persona en un ambiente c lido (izquierda) y en un ambiente frio sin tanta ropa (derecha):

Es importante tener presente que la radiaci n t rmica como el transporte de calor sera menor en las zonas de menor temperatura ya que el gradiente respecto de la temperatura exterior ser menor.

(ID 9576)

Una vez el torrente sangu neo llevo el calor a los vasos capilares de la piel el calor puede ser transportado al exterior.

Calor eliminado por conducci n

Si se asume que la distancia entre capilar y exterior es d, la superficie corresponde a la superficie de todo el cuerpo S_b se puede modelar el transporte sangre-piel-exterior.

La transferencia entre sangre y piel se puede modelar de la misma forma que se hizo con la interface musculo-sangre.

La conducci n por la piel se puede modelar con el mismo coeficiente que en el m sculo.

En el caso exterior se puede asumir que no existe desplazamiento del aire y que el coeficiente de transmisi n es igual a \mu_s.

Si se asume un modelo a de dos transferencias y un medio de conducci n se puede calcular el coeficiente de transporte de la piel k_s.

Con las temperaturas corporales y exteriores se puede estimar el flujo de calor J_t. Adicionalmente se puede estimar la temperatura en las interfaces, tanto entre sangre y piel (T_{s1}) como piel-exterior (T_{s2}).

(ID 597)

Los valores de conductividad y capacidad calor a se pueden obtener de la siguiente tabla

Nanomedicine, Volume IIA: Biocompatibility

(ID 9577)

Una parte de la eliminaci n ocurre por radiaci n t rmica con un flujo J_r.

Calor eliminado por radiaci n (termograf a)

Esta se puede estimar considerando la superficie corporal S_b y la emisividad \epsilon y depende tanto de la temperatura del cuerpo como del medio circundante.

(ID 598)

Si hacemos un balance entre el calor que se debe eliminar y lo que se logra v a transporte y radiaci n notaremos que existe una cantidad de calor que aun no se esta eliminando del cuerpo. Dicha cantidad es eliminada v a evaporaci n.

Calor eliminado por transpiraci n

La cantidad se deja estimar empelando el calor latente L_h y el calor total que no se ha logrado eliminar.

(ID 599)

Si no se perdiera energ a el musculo se calentar a en funci n del calor que lo alcanza llegando a una temperatura que llevar a a un da o irreversible. Sin embargo. como el calor va abandonando el musculo su calentamiento que logra realmente es solo una fracci n de la temperatura para el caso en que no se libera energ a.

Si se asume que solo ocurre aproximadamente 1/3 del incremento de la temperatura se tiene que

donde \Delta T es el incremento m ximo y T_m es la temperatura del musculo y T_c la temperatura corporal.

(ID 9009)

En caso de que dos variables a y b sean iguales, se empela el signo = para se alar este hecho:

(ID 3305)