Die Fourierreihe
Gleichung
Jede Zeitfunktion
x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t ) |
ID:(14342, 0)
Grundfrequenz
Gleichung
Die Grundfrequenz
u_k
\nu_k = \displaystyle\frac{ k }{ T } |
ID:(14343, 0)
Definition a_k berechnen
Gleichung
Zur Berechnung des Koeffizienten
x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t ) |
die Funktion
a_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \cos(2 \pi \nu_k t ) dt |
ID:(14347, 0)
Definition b_k berechnen
Gleichung
Zur Berechnung des Koeffizienten
x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t ) |
die Funktion
b_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \sin(2 \pi \nu_k t ) dt |
ID:(14348, 0)
Koeffizient a_k berechnen
Gleichung
Um das Integral abzuschätzen
a_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \cos(2 \pi \nu_k t ) dt |
Sie können die Funktion
a_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\sum_{n=0}^{ N -1} x_n \cos(2 \pi \nu_k n \Delta t ) |
ID:(14349, 0)
Koeffizient b_k berechnen
Gleichung
Um das Integral abzuschätzen
b_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \sin(2 \pi \nu_k t ) dt |
Sie können die Funktion
b_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\sum_{n=0}^{ N -1} x_n \sin(2 \pi \nu_k n \Delta t ) |
ID:(14350, 0)
Koeffizient in komplexer Form
Gleichung
Die Koeffizienten der Fourier-Transformation
x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t ) |
kann durch Definition als komplexe Zahl umgruppiert werden
X_k = a_k - i b_k |
ID:(14352, 0)
Komplexe Version der Fourier-Reihe
Gleichung
Fourier-Transformation
x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t ) |
Sie können mit der Euler-Beziehung
die Definition
X_k = a_k - i b_k |
und die Dekretisierung der Zeit
t_n = n \Delta t |
neu definieren als die diskreten Transformationen im komplexen Raum der Zeitreihe
x_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{ i 2 \pi \nu_k n \Delta t } |
ID:(14351, 0)
Definition des Koeffizients X_k
Gleichung
Zur Berechnung des Koeffizienten
x_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{ i 2 \pi \nu_k n \Delta t } |
die Funktion
X_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_{0}^{ T } x(t) e^{ i 2 \pi \nu_k t } dt |
ID:(14353, 0)
Koeffizient X_k berechnen
Gleichung
Um das Integral abzuschätzen
X_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_{0}^{ T } x(t) e^{ i 2 \pi \nu_k t } dt |
Sie können die Funktion
X_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\sum_{ n =0}^{ N -1} x_n e^{ i 2 \pi \nu_k n \Delta t } |
ID:(14354, 0)
Größen der Moden
Gleichung
Wenn der komplexe Koeffizient ist
X_k = a_k - i b_k |
seine Größe ist definiert als
r_k = \sqrt{ a_k ^2 + b_k ^2} |
ID:(14355, 0)
Modi Phase
Gleichung
Wenn der komplexe Koeffizient ist
X_k = a_k - i b_k |
daraus kann die Phase berechnet werden
\phi_k = \arctan\displaystyle\frac{ b_k }{ a_k } |
ID:(14356, 0)