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Die Fourierreihe

Storyboard

>Modell

ID:(1921, 0)



Die Fourierreihe

Gleichung

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Jede Zeitfunktion x(t) kann als Fourier-Reihe ausgedrückt werden, d. h. als Summe trigonometrischer Funktionen einer Grundfrequenz und ihrer Harmonischen:

x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )

ID:(14342, 0)



Grundfrequenz

Gleichung

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Die Grundfrequenz
u_k
der Fourier-Reihe ist definiert als Funktion der Zeit T der Zeitreihe x(t):

\nu_k = \displaystyle\frac{ k }{ T }

ID:(14343, 0)



Definition a_k berechnen

Gleichung

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Zur Berechnung des Koeffizienten a_k der Reihe

x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )



die Funktion x(t) muss mit dem Kosinus der entsprechenden Frequenz gewichtet integriert werden:

a_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \cos(2 \pi \nu_k t ) dt

ID:(14347, 0)



Definition b_k berechnen

Gleichung

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Zur Berechnung des Koeffizienten b_k der Reihe

x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )



die Funktion x(t) muss mit dem Sinus der entsprechenden Frequenz gewichtet integriert werden:

b_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \sin(2 \pi \nu_k t ) dt

ID:(14348, 0)



Koeffizient a_k berechnen

Gleichung

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Um das Integral abzuschätzen

a_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \cos(2 \pi \nu_k t ) dt



Sie können die Funktion x(t) diskretisieren und das Integral durch eine Summe ersetzen:

a_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\sum_{n=0}^{ N -1} x_n \cos(2 \pi \nu_k n \Delta t )

ID:(14349, 0)



Koeffizient b_k berechnen

Gleichung

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Um das Integral abzuschätzen

b_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_0^T x(t) \sin(2 \pi \nu_k t ) dt



Sie können die Funktion x(t) diskretisieren und das Integral durch eine Summe ersetzen:

b_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\sum_{n=0}^{ N -1} x_n \sin(2 \pi \nu_k n \Delta t )

ID:(14350, 0)



Koeffizient in komplexer Form

Gleichung

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Die Koeffizienten der Fourier-Transformation

x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )



kann durch Definition als komplexe Zahl umgruppiert werden

X_k = a_k - i b_k

ID:(14352, 0)



Komplexe Version der Fourier-Reihe

Gleichung

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Fourier-Transformation

x(t) = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty}( a_k \cos 2 \pi \nu_k t + b_k \sin 2 \pi \nu_k t )



Sie können mit der Euler-Beziehung



die Definition

X_k = a_k - i b_k



und die Dekretisierung der Zeit

t_n = n \Delta t



neu definieren als die diskreten Transformationen im komplexen Raum der Zeitreihe x_n gleich

x_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{ i 2 \pi \nu_k n \Delta t }

ID:(14351, 0)



Definition des Koeffizients X_k

Gleichung

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Zur Berechnung des Koeffizienten X_k der Reihe

x_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{ i 2 \pi \nu_k n \Delta t }



die Funktion x(t) muss mit dem Kosinus der entsprechenden Frequenz gewichtet integriert werden:

X_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_{0}^{ T } x(t) e^{ i 2 \pi \nu_k t } dt

ID:(14353, 0)



Koeffizient X_k berechnen

Gleichung

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Um das Integral abzuschätzen

X_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\int_{0}^{ T } x(t) e^{ i 2 \pi \nu_k t } dt



Sie können die Funktion x(t) diskretisieren und das Integral durch eine Summe ersetzen:

X_k = \displaystyle\frac{1}{ T } \displaystyle\sum_{ n =0}^{ N -1} x_n e^{ i 2 \pi \nu_k n \Delta t }

ID:(14354, 0)



Größen der Moden

Gleichung

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Wenn der komplexe Koeffizient ist

X_k = a_k - i b_k



seine Größe ist definiert als

r_k = \sqrt{ a_k ^2 + b_k ^2}

ID:(14355, 0)



Modi Phase

Gleichung

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Wenn der komplexe Koeffizient ist

X_k = a_k - i b_k



daraus kann die Phase berechnet werden

\phi_k = \arctan\displaystyle\frac{ b_k }{ a_k }

ID:(14356, 0)