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El cáncer es la pérdida de los mecanismos de control de la proliferación celular: el balance entre señales de crecimiento y señales inhibitorias se rompe, y las células adquieren capacidad de replicación ilimitada. Físicamente, el crecimiento tumoral puede describirse con modelos matemáticos que evolucionan desde exponencial puro (fase inicial, sin restricciones) hasta sigmoideo (tumores establecidos, limitados por nutrientes, espacio e inmunidad).

El modelo de Gompertz es el que mejor ajusta los datos de crecimiento de tumores sólidos: la tasa de crecimiento decrece logarítmicamente a medida que el tumor crece, reflejando la progresiva limitación por hipoxia, nutrición y respuesta inmune. El tiempo de inflexión t_inf marca el punto de máxima velocidad de crecimiento (generalmente ~1/3 del tamaño final K_max).

La hipoxia intratumoral (pO < 5 mmHg) activa HIF-1, que induce angiogénesis (VEGF), glucólisis anaerobia (efecto Warburg) y resistencia a la apoptosis. Este mecanismo transforma el tumor de una masa estacionaria limitada por nutrientes en una lesión agresiva con su propia vascularización. La hipoxia también confiere resistencia a la radioterapia (el O es radiosenibilizador).

La acumulación de mutaciones sigue un proceso de Poisson con tasa _mut 10/gen/división. Se necesitan típicamente 510 mutaciones conductoras (drivers) en genes clave (TP53, RAS, BRCA, etc.) para completar la transformación maligna. El modelo de Iwata para metástasis muestra que la tasa de diseminación escala con la superficie tumoral (N^(2/3)), explicando por qué los tumores grandes tienen mayor riesgo metastásico.

Clínicamente, el tiempo de duplicación T_dobling varía enormemente: linfomas de Burkitt (2 días), cáncer de mama (40200 días), cáncer de próstata (300500 días). Estos valores tienen implicaciones directas para el cribado (ventana de oportunidad para la detección) y para la planificación de la quimioterapia (los fármacos que actúan en fase S son más eficaces en tumores con GF alto).

ID:('ky', 50)

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$N_{exp}=N_0e^{k_{eff}t}$

Variables

$N_0$

Células iniciales

$1$

$k_{eff}$

Proliferación efectiva

$1/s$

$t$

Tiempo

$s$

ID:('gm', 477)

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$T_d=\frac{\ln 2}{k_{eff}-death}$

Variables

$death$

Muerte total

$1/s$

$k_{eff}$

Proliferación efectiva

$1/s$

ID:('gm', 478)

Storyboard

$\frac{dN_{log}}{dt}=k_{eff}N_{log}(1-N_{log}/K_{max})-death,N_{log}$

Variables

$K_{max}$

Capacidad de carga

$1$

$death$

Muerte total

$1/s$

$k_{eff}$

Proliferación efectiva

$1/s$

ID:('gm', 479)

Storyboard

$\frac{dN_{gom}}{dt}=-\alpha_G\ln(N_{gom}/K_{max})N_{gom}-death,N_{gom}$

Variables

$K_{max}$

Capacidad de carga

$1$

$death$

Muerte total

$1/s$

$alpha_G$

Parámetro Gompertz

$1/s$

ID:('gm', 480)

Storyboard

$k_{eff}=GF,k_{prol,intr}(1+hypoxiaGain,HIF/(1+HIF))(1+0.35,angiogenesis)$

Variables

$HIF$

Factor hipóxico

$1$

$GF$

Fracción de crecimiento

$1$

$k_{eff}$

Proliferación efectiva

$1/s$

$k_{prol,intr}$

Proliferación intrínseca

$1/s$

ID:('gm', 481)

Storyboard

$\frac{dHIF}{dt}=k_{HIF}(1-pO_2/pO_{2,norm})-k_{deg,HIF}HIF$

Variables

$HIF$

Factor hipóxico

$1$

$pO_{2,norm}$

Oxígeno normal

$Pa$

$pO_2$

Oxígeno tumoral

$Pa$

ID:('gm', 482)

Storyboard

$P_{mut}=1-\sum_{j=0}^{n_{driver}-1}e^{-\mu}\mu^j/j!$

Variables

$n_{driver}$

Drivers requeridos

$1$

$mu$

Mutaciones esperadas

$1$

$P_{mut}$

Probabilidad de drivers

$1$

ID:('gm', 483)

Storyboard

$\mu=\lambda_{mut}divisions$

Variables

$mu$

Mutaciones esperadas

$1$

$lambda_{mut}$

Tasa mutacional

$1/cell·division$

ID:('gm', 484)

Storyboard

$\frac{dM}{dt}=\mu_{met}N^{2/3}N$

Variables

$N$

Células tumorales

$1$

$mu_{met}$

Tasa metastásica

$1/s·cll??³$

ID:('gm', 485)