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Mecánica de los Glaciares
Storyboard

>Modelo

ID:(1306, 0)


Perfil de velocidad
Imagen

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Como el glaciar se desplaza en forma lenta se le puede modelar como un flujo laminar con una velocidad u_0 en la superficie y una u_b en la base a una profundidad h. La velocidad en una profundidad d sera igual a u:

Perfil de la velocidad en la sección del glaciar

ID:(9973, 0)


Tensión de corte
Hipótesis

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El glaciar se encuentra en un plano inclinado bajo un angulo \theta y esta expuesto a la fuerza de la gravedad y a las fuerzas de roce generadas por el fondo.

Cada elemento de volumen dV esta expuesto a la fuerza gravitacional

mg = \rho dV g

que tiene una componente perpendicular al plano sobre el que se encuentra el glaciar

\rho dV g\cos\theta

y una componente paralela a esta

F_g\sim \rho dV g\sin\theta\sim \rho S dz g\sin\theta

que en conjunto con la fuerza el roce con lo que se contorciona el hielo. La tensión asociada

\sigma=\displaystyle\frac{F_g}{S}

y se integra a lo largo de la profundidad del glaciar z se obtiene lo que se denomina la tensión de corte

que se observa en el hielo.

ID:(9952, 0)


Ley de Glen
Ecuación

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La ley de Glen establece como la velocidad de la deformación d\epsilon/dt depende de la tensión \sigma a la que esta expuesto el material mediante



con n\sim 3 un exponente y A con valores entre 24\times 10^{-25} s^{-1}Pa^{-3} a cero grados y 3.5\times 10^{-25} s^{-1}Pa^{-3} a -10 grados. La constante A es poco intuitiva y la ley se puede reformular como

$\dot{\epsilon}=\displaystyle\frac{1}{\tau_g}\left(\displaystyle\frac{\sigma}{\sigma_g}\right)^{n_g}$

en donde la clásica constante introducida por Glen se ha re-definido mediante una tensión de referencia \sigma_g, un tiempo de relajación \tau_g y n un exponente con un valor promedio de 3.

En Deformation of Glacial Materials (Geological Society Special Publication No. 176) D.H.B. Irving et al propone un modelo según el cual se podría aproximar la tensión con de Glen con 25 kPa y el tiempo de relajación con 2030 años.

ID:(9956, 0)


Arrastrarse (creep)
Descripción

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El glaciar se arrastra gracias a la deformación de los cristales de hielo y el desplazamiento de estos entre si. Dicho proceso ocurre cada vez que la tensión basal sobrepasa los 50 kPa alcanzando por lo general valores entre 100 y 150 kPa.

ID:(9957, 0)


Deformación del Glaciar
Ecuación

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Al encontrarse el glaciar en una superficie similar a un plano inclinado en que el roce evita un deslizamiento, la masa de este genera un torque que lleva a una deformación en que se desplaza en la superficie u_x en dirección del eje x en función de su distancia a la base dado por la altura \Delta z\sim h con lo que la deformación es

$\epsilon\sim\displaystyle\frac{u_x}{h}$

ID:(9970, 0)


Ecuación de perfil de velocidad
Ecuación

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Con la ley de Glen

$\dot{\epsilon}=\displaystyle\frac{1}{\tau_g}\left(\displaystyle\frac{\sigma}{\sigma_g}\right)^{n_g}$



la deformación

$\epsilon\sim\displaystyle\frac{u_x}{h}$



y la tensión de corte

$\sigma = \rho_i\,g\,z\,\sin\theta$



se obtiene la ecuación para el perfil de la velocidad

$\dot{u} = \displaystyle\frac{h}{\tau_g}\left(\displaystyle\frac{\rho_i\,g\,z\,\sin \theta }{ \sigma_g }\right)^{n_g}$

que ser refiere a la velocidad a una altura z desde la base y en función de la velocidad en la base v_b.

ID:(9974, 0)


Calor de deformación
Ecuación

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Con la intensidad generada por la deformación

$dI_d=\rho_i\,\dot{u}\,g\,\sin\theta\,dz$



y la velocidad del glaciar en una altura z desde el fundo

$\dot{u} = \displaystyle\frac{h}{\tau_g}\left(\displaystyle\frac{\rho_i\,g\,z\,\sin \theta }{ \sigma_g }\right)^{n_g}$



se tiene que se puede reemplazar e integrar sobre toda la altura resultando

$I_d = \displaystyle\frac{1}{(n_g+1)\tau_g}\displaystyle\frac{(\rho_i\,g\,h\,\sin\theta )^{n_g+1}}{\sigma_g^{n_g}}$

ID:(9999, 0)


Causa del desplazamiento lento
Imagen

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En general el roce de la película de agua en la base del glaciar es muy pequeño (coeficiente del orden de 0.05) por lo que en general se espera que un glaciar se deslice a alta velocidad (metros por segundo). Sin embargo las velocidades observadas son metros por año o en caso extremos metros por día. La razón es, según J. Weertman (1957), son rocas que obstaculizan el avance. La teoría se denomina 'Tombstone Model' (modelo de lapidas funerarias) y considera que:

- el glaciar presiona sobre rocas del fondo
- el hielo en la superficie se descongela absorbiendo calor del entorno
- el agua fluye alrededor del obstáculo hasta llegar a una parte en que ya no esta expuesto a la presión por lo que se vuelve a solidificar
- el calor de la solidificación se conduce por la roca hasta la zona de la presión para volver a descongelar mas hielo

Lo descrito esta representado en la siguiente imagen

en que se asume un tamaño del obstáculo d\sim 1-5,m una conductividad de la roca \lambda_r\sim 0.5-5,W/mK.

ID:(10840, 0)


Velocidad de desplazamiento de la base
Ecuación

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Para una tajada del ancho \Delta x y area de ancho y alto d el hielo de densidad \rho_i que requiere de una energía igual a

\Delta Q = l\rho_id^2\Delta x

donde l es la entalpia o calor especifico de fusión del hielo. Si se piensa en un obstaculo cubico el largo en que se conduce el calor es tambien d que con una conductividad de la roca \lambda_r se transmite en un tiempo \Delta t según:

\displaystyle\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\displaystyle\frac{l d^2 \rho_i\Delta x}{\Delta t}=\displaystyle\frac{\lambda\Delta T}{d}

donde \Delta T es la diferencia de temperatura. Como esta es igual a

\Delta T=\gamma\Delta p

en donde la presión es la componente vertical de la columna de hielo

\Delta p=\rho_i g h\sin\theta

donde h es la altura del glaciar y \theta el angulo de la inclinación del plano de deslizamiento.

De esta forma la velocidad

v_b=\displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}

es

$ v_b =\displaystyle\frac{ \lambda_r \gamma g h \sin \theta }{ l d ^2}$

ID:(10839, 0)


Velocidad de las capas superiores del Glaciar
Ecuación

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La base del glaciar se desplaza por el peso del glaciar y la situación que se da con obstáculos en su camino

$ v_b =\displaystyle\frac{ \lambda_r \gamma g h \sin \theta }{ l d ^2}$



En base a la velocidad en función de la altura z desde la base del glaciar

$\dot{u} = \displaystyle\frac{h}{\tau_g}\left(\displaystyle\frac{\rho_i\,g\,z\,\sin \theta }{ \sigma_g }\right)^{n_g}$



se tiene que la velocidad en la superficie es

$v(z) = v_b+\displaystyle\frac{h}{\tau_g}\left(\displaystyle\frac{\rho_ig\,z\,\sin \theta}{\sigma_g}\right)^{n_g}$

ID:(9975, 0)