En este caso se supone un padecimiento recesivo, es decir, que se requiere que la informaci n gen tica tanto del padre como de la madre tenga la mutaci n. Cada persona tenemos dos alelos uno donado por el padre y otro por la madre, que se dividen en la reproducci n (miosis) celular y cada uno trasmite a su descendencia solo uno de los dos alelos. Por ello depende de la situaci n de los padres si los descendientes son sanos, presentan la mutaci n sin o con mostrar los s ntomas.

(ID 6835)

Para modelar debemos introducir el n mero de personas que nacen en un a o t. Estas las describiremos con las letras min sculas:

• $s(t)$ sanos nacidos en el a o $t$.
• $p(t)$ portadores nacidos en el a o $t$.
• $c(t)$ casos nacidos en el a o $t$.

Su participaci n en el proceso de propagaci n de la enfermedad se dar reci n cuando alcanzan la edad f rtil \tau_i. Su participaci n cesar al momento que deje de participar en el proceso de procreaci n lo que ocurrir a una edad \tau_f. Ambas edades se deben definir en funci n de las edades t picas en que la persona engendra descendientes.

Por ello el segunda tipo de variable que tenemos que introducir es el numero de personas en la edad en que procrean. Para un tiempo t deberemos considerar todos aquellos que nacieron entre un tiempo

• $t-\tau_f$ y
• $t-\tau_i$

Si no se consideran muertes prematuras se puede estimar el n mero que participan en el proceso de procrear como integrales sobre los nacimientos anuales entre ambos tiempos indicados.

(ID 8091)

El numero de personas que est n procreando en un tiempo t se puede calcular con la integral de los nacimientos de sanos s(t), portadores p(t) y casos c(t) entre los tiempos t-\tau_f y t-\tau_i donde \tau_i es la edad en que se inicia y \tau_f en que termina la procreaci n.

Si se introduce el total de personas de un tipo que ha nacido a una fecha t se puede tambi n estimar el numero que participa en el proceso de procreaci n restando al numero que existe en el tiempo t-\tau_i aquel que exist a en el tiempo t-\tau_f.

En analog a se pueden denominar estas poblaciones acumuladas con las correspondientes letras may sculas:

* $S(t)$ suma de todos los sanos nacidos hasta el a o $t$
* $P(t)$ suma de todos los portadores nacidos hasta el a o $t$
* $C(t)$ suma de todos los casos nacidos hasta el a o $t$

Hay que tener presente de que las poblaciones S, P y C incluyen la totalidad sin hacer distinci n si contin an a la fecha t con vida o no. El hecho que incluyan a aquellos que ya murieron no constituye un problema dado que el numero que esta procreando se calcula con una resta en que la poblaci n ya fallecida se anula.

(ID 8092)

El n mero total de sanos se calcula de la suma de los sanos nacidos hasta el tiempo t:

$S(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}s(u)du$

donde el tiempo inicial (t=0) se fija de modo de que a dicho tiempo aun no existan ni portadores ni casos.

(ID 6837)

El n mero total de portadores se calcula de la suma de los sanos nacidos hasta el tiempo t:

$P(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}p(u)du$

donde el tiempo inicial (t=0) se fija de modo de que a dicho tiempo aun no existan ni portadores ni casos.

(ID 8076)

El n mero total de casos se calcula de la suma de los sanos nacidos hasta el tiempo t:

$C(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}s(u)du$

donde el tiempo inicial (t=0) se fija de modo de que a dicho tiempo aun no existan ni portadores ni casos.

(ID 8075)

El n mero total de sanos que est n procreando es igual a aquellos que en el tiempo t tienen edad entre \tau_i y \tau. Por ello nacieron hace un tiempo t-\tau_f y t-\tau_i y su n mero ser :

$\Delta S(t) = S(t-\tau_i)-S(t-\tau_f)$

donde S(t) es el n mero total de sanos nacidos hasta el tiempo t.

(ID 8094)

El n mero total de portadores que est n procreando es igual a aquellos que en el tiempo t tienen edad entre \tau_i y \tau. Por ello nacieron hace un tiempo t-\tau_f y t-\tau_i y su n mero ser :

$\Delta P(t) = P(t-\tau_i)-P(t-\tau_f)$

donde P(t) es el n mero total de portadores nacidos hasta el tiempo t.

(ID 8095)

El n mero total de casos que est n procreando es igual a aquellos que en el tiempo t tienen edad entre \tau_i y \tau. Por ello nacieron hace un tiempo t-\tau_f y t-\tau_i y su n mero ser :

$\Delta C(t) = C(t-\tau_i)-C(t-\tau_f)$

donde C(t) es el n mero total de casos nacidos hasta el tiempo t.

(ID 8096)

El n mero total de personas que pueden procrear es la suma de los sanos \Delta S(t), portadores \Delta P(t) y casos \Delta C(t):

$\Delta N(t) = \Delta S(t)+\Delta P(t)+\Delta C(t)$

(ID 8107)

Si la formaci n de parejas no dependiente de la enfermedad, la formaci n de parejas se dar a en la proporci n de los posibles tipos de personas:

Proporci n | Descripci n
--------|--------------------
$\displaystyle\frac{\Delta S}{\Delta N}$ | Personas sanas
$\displaystyle\frac{\Delta P}{\Delta N}$ | Personas portadores
$\displaystyle\frac{\Delta C}{\Delta N}$ | Personas casos


Si todos forman parejas se tendr $\Delta N/2$ de estas. La probabilidad de que esta sea de un tipo es igual al producto de la proporciones respectivas. Estas se dan en las siguientes combinaciones:

\ | S | P | C
-------------|---|----|----
**S** | $\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N^2}$
**P** | $\displaystyle\frac{\Delta P\Delta S}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N^2}$
**C** | $\displaystyle\frac{\Delta C\Delta S}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta C\Delta P}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N^2}$


Por ello el n mero de parejas seg n tipo ser n


Tipo de pareja | N mero
----------|--------------------
S-S | $\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}$
S-P | $\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}$
S-C | $\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}$
P-P | $\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}$
P-C | $\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$
C-C | $\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}$


Como tanto la formaci n de parejas como el n mero de ni os que esta tenga si depende de la existencia de la enfermedad se pueden introducir seis constantes $K_{ss}$, $K_{sp}$, $K_{sc}$, $K_{pp}$, $K_{pc}$ y $K_{cc}$ de modo que el n mero de dependientes ser

Tipo de pareja | N mero de ni os
----------|--------------------
S-S | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{ss}\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}$
S-P | $K_{sp}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}$
S-C | $K_{sc}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}$
P-P | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}$
P-C | $K_{pc}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$
C-C | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{cc}\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}$

(ID 8093)

La diferencia entre portadores y casos es que ambos primeros presentan el defecto gen tico pero solo el segundo grupo muestra los s ntomas de la enfermedad.

La propagaci n en este caso ocurre mediante la procreaci n. Seg n los padres sean S, P o C los hijos pueden terminar con alguna de las probabilidades de que los hijos sean del tipo S, P o C:

| Tipo de pareja | Sano (S) | Portador (P) | Caso (C) |
|:----------:|:------------:|:----------------:|:-------------:|
| S-S | 1.00 | - | - |
| P-P | 0.25 | 0.50 | 0.25 |
| C-C | - | - | 1.00 |
| S-P | 0.50 | 0.50 | - |
| S-C | - | 1.00 | - |
| P-C | - | 0.50 | 0.50 |

Consierando la cantidad de ni os por a os que se puede esperar en cada tipo y la tabla anterior que indica como se distribuyen los restado


| Tipo de pareja | C lculo | Sano (S) | Portador (P) | Caso (C) |
|:----------:|:--------:|:------------:|:----------------:|:-------------:|
| S-S | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{ss}\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}$ | $1$ | - | - |
| P-P | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}$ | $\displaystyle\frac{1}{4}$ | $\displaystyle\frac{1}{2}$ | $\displaystyle\frac{1}{4}$ |
| C-C | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{cc}\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}$ | - | - | $1$ |
| S-P | $K_{sa}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}$ | $\displaystyle\frac{1}{2}$ | $\displaystyle\frac{1}{2}$ | - |
| S-C | $K_{sc}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}$ | - | $1$ | - |
| P-C | $K_{ac}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$ | - | $\displaystyle\frac{1}{2}$ | $\displaystyle\frac{1}{2}$ |

donde el factor 2 en los tres ltimos t rminos se debe a la simetr a entre hombre y mujer (ej. en AC el hombre puede ser el portador pero tambi n la mujer por lo que hay dos casos).

Con estas estimaciones y la tabla de proporciones entre los descendientes lleva a que el n mero de nacimientos sanos por tiempo es:

$\displaystyle\frac{1}{2}K_{ss}\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\frac{1}{2}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{sp}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}$

de los portadores

$\displaystyle\frac{1}{2}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{sp}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}+K_{sc}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{pc}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$

y de los casos

$\displaystyle\frac{1}{8}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{cc}\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{pc}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$

Hay que tener presente que estas expresiones estiman el incremento de las poblaciones de susceptibles, portadores y casos en un tiempo $t$ con las poblaciones que se encuentran en las etapas f rtiles. Si se supone que la etapa f rtil se inicia a una edad $t_i$ y termina a una edad $t_f$ los $S$, $A$ y $C$ corresponden a la suma de todos aquellos que se encuentren en dicho rango de edad, es decir nacidos en un tiempo entre $t-t_f$ y $t-t_i$.

(ID 4070)

A diferencia de los modelos tradicionales tipo SIR (Suceptibles-Infectados-Recuperados) en el caso gen tico la persona deja de contribuir a la propagaci n al momento que pierde la fertilidad. Por ello la evoluci n de las poblaciones de sanos S, portadores P y casos C deben ser calculados siempre de las poblaciones en el rango f rtil.

(ID 6836)

El n mero de sanos s que nace en el tiempo t se calcula de los ni os que nazcan de las poblaciones f rtiles totales de susceptibles \Delta S, portadores \Delta P y casos \Delta C existentes en el tiempo t. Por ello la ecuaci n para los susceptibles que nacen en t es:

$s=K_{ss}\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{8}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{sp}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}$

K_{ss} son los ni os por a o de parejas en que ambos son sanos, K_{pp} son los ni os por a o de parejas en que ambos son portadores y K_{sp} los ni os por a o de parejas en que un miembro es sano y el otro portador.

(ID 6848)

El n mero de portadores p que nace en el tiempo t se calcula de los ni os que nazcan de las poblaciones f rtiles totales de susceptibles \Delta S, portadores \Delta P y casos \Delta C existentes en el tiempo t. Por ello la ecuaci n para los susceptibles que nacen en t es:

$p=\displaystyle\frac{1}{4}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{sp}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}+K_{sc}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{pc}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$

con S el n mero de sanos, C el n mero de casos. K_{pp} son los ni os por a o de parejas en que ambos son portadores, K_{sp} son los ni os por a o de parejas en que un miembro es sano y el otro portador, K_{sc} son los ni os por a o de parejas en que un miembro es sano y el otro caso y K_{pc} son los ni os por a o de parejas en que un miembro es portador y el otro caso.

(ID 6849)

El n mero de casos $c$ que nace en el tiempo $t$ se calcula de los ni os que nazcan de las poblaciones f rtiles totales de susceptibles $S$, portadores $P$ y casos $C$ existentes en el tiempo $t$. Por ello la ecuaci n para los susceptibles que nacen en $t$ es:

$c=\displaystyle\frac{1}{8}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{cc}\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{pc}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$

con $S$ el n mero de sanos, $P$ el n mero de portadores, $K_{ss}$ los ni os por a o de parejas en que ambos son sanos, $K_{pp}$ los ni os por a o de parejas en que ambos son portadores, $K_{cc}$ son los ni os por a o de parejas en que ambos son casos y $K_{pc}$ son los ni os por a o de parejas en que un miembro es portador y el otro caso.

(ID 6850)

La introducci n de los distintos K's supone que las distintas parejas muestran un comportamiento distinto teniendo distinta cantidad de descendientes dependiente de su situaci n gen tica.\\n\\nSi se supone que las personas solo cambian su actitud en la medida que existen s ntomas visibles se tendr an tres grupos:\\n\\n* Ambos progenitores no muestran s ntomas. Esto se da en las parejas del tipo $SS$, $SP$ y $PP$.\\n* Uno de los progenitores presenta s ntomas. Esto se da en las parejas del tipo $SC$ y $PC$.\\n* Ambos progenitores muestran los sintomas. Esto se dar a solo en las parejas del tipo $CC$.\\n\\nLa constante asociada a la primera situacion la podemos denominar $K_s$ y se tendria que\\n\\n

$K_s=K_{ss}=K_{sp}=K_{pp}$

\\n\\nLa constante asociada a la segunda situaci n se puede denominar $K_p$ y en general ser \\n\\n

$K_p=K_{sc}=K_{pc}$

\\n\\nPor simetr a se introduce ademas la constante $K_c$ de modo que el factor de las parejas $K_{cc}$ es\\n\\n

$K_c=K_{cc}$

(ID 8080)

En el modelo general el n mero de sanos s que nace en el tiempo t se calcula de:

$s=K_{ss}\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{8}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{sp}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}$

que con

$S(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}s(u)du$

que en el caso simplificado se reduce a

$\displaystyle\frac{dS}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s\left(\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}\right)$

(ID 8077)

En el modelo general el n mero de portadores a que nace en el tiempo t se calcula de:

$p=\displaystyle\frac{1}{4}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{sp}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}+K_{sc}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{pc}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$

que con

$P(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}p(u)du$

que en el caso simplificado se reduce a

$\displaystyle\frac{dP}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s\left(\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}\right)+K_p\left(\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}+\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}\right)$

(ID 8078)

En el modelo general el n mero de casos $c$ que nace en el tiempo $t$ se calcula de:

$c=\displaystyle\frac{1}{8}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{cc}\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{pc}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$

que con

$C(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}s(u)du$

que en el caso simplificado se reduce a

$\displaystyle\frac{dC}{dt}=\displaystyle\frac{1}{8}K_s\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_c\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_p\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$

(ID 8079)