In diesem Fall wird ein rezessiver Zustand angenommen, dh die genetische Information sowohl des Vaters als auch der Mutter ist erforderlich, um die Mutation zu haben. Jede Person hat zwei Allele, eines vom Vater und das andere von der Mutter, die in zellul re Reproduktion (Miosis) unterteilt sind und jeweils nur eines der beiden Allele an ihre Nachkommen bertragen. Daher h ngt es von der Situation der Eltern ab, ob die Nachkommen gesund sind, sie zeigen die Mutation ohne oder mit Anzeichen der Symptome.

(ID 6835)

Um zu modellieren, m ssen wir die Anzahl der Personen eingeben, die in einem Jahr t geboren wurden. Wir werden diese in Kleinbuchstaben beschreiben:

• $s(t)$ gesund geboren im Jahr $t$.
• $p(t)$ Tr ger, die im Jahr $t$ geboren wurden.
• $c(t)$ F lle, die im Jahr $t$ geboren wurden.

Ihre Teilnahme am Prozess der Ausbreitung der Krankheit erfolgt erst, wenn sie das fruchtbare Alter \tau_i erreichen. Ihre Teilnahme wird beendet, sobald Sie aufh ren, am Fortpflanzungsprozess teilzunehmen, der in einem \tau_f Alter stattfindet. Beide Altersstufen m ssen anhand des typischen Alters definiert werden, in dem die Person Nachkommen hervorbringt.

Daher ist die zweite Art von Variable, die wir einf hren m ssen, die Anzahl der Personen in dem Alter, in dem sie sich fortpflanzen. F r eine Zeit t m ssen wir alle diejenigen ber cksichtigen, die zwischen einer Zeit geboren wurden

• $t-\tau_f$ y
• $t-\tau_i$

Wenn vorzeitige Todesf lle nicht ber cksichtigt werden, kann die Anzahl der am Fortpflanzungsprozess beteiligten Personen als integraler Bestandteil der j hrlichen Geburten zwischen beiden angegebenen Zeiten gesch tzt werden.

(ID 8091)

El numero de personas que est n procreando en un tiempo t se puede calcular con la integral de los nacimientos de sanos s(t), portadores p(t) y casos c(t) entre los tiempos t-\tau_f y t-\tau_i donde \tau_i es la edad en que se inicia y \tau_f en que termina la procreaci n.

Si se introduce el total de personas de un tipo que ha nacido a una fecha t se puede tambi n estimar el numero que participa en el proceso de procreaci n restando al numero que existe en el tiempo t-\tau_i aquel que exist a en el tiempo t-\tau_f.

En analog a se pueden denominar estas poblaciones acumuladas con las correspondientes letras may sculas:

* $S(t)$ suma de todos los sanos nacidos hasta el a o $t$
* $P(t)$ suma de todos los portadores nacidos hasta el a o $t$
* $C(t)$ suma de todos los casos nacidos hasta el a o $t$

Hay que tener presente de que las poblaciones S, P y C incluyen la totalidad sin hacer distinci n si contin an a la fecha t con vida o no. El hecho que incluyan a aquellos que ya murieron no constituye un problema dado que el numero que esta procreando se calcula con una resta en que la poblaci n ya fallecida se anula.

(ID 8092)

El n mero total de sanos se calcula de la suma de los sanos nacidos hasta el tiempo t:

$S(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}s(u)du$

donde el tiempo inicial (t=0) se fija de modo de que a dicho tiempo aun no existan ni portadores ni casos.

(ID 6837)

El n mero total de portadores se calcula de la suma de los sanos nacidos hasta el tiempo t:

$P(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}p(u)du$

donde el tiempo inicial (t=0) se fija de modo de que a dicho tiempo aun no existan ni portadores ni casos.

(ID 8076)

El n mero total de casos se calcula de la suma de los sanos nacidos hasta el tiempo t:

$C(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}s(u)du$

donde el tiempo inicial (t=0) se fija de modo de que a dicho tiempo aun no existan ni portadores ni casos.

(ID 8075)

El n mero total de sanos que est n procreando es igual a aquellos que en el tiempo t tienen edad entre \tau_i y \tau. Por ello nacieron hace un tiempo t-\tau_f y t-\tau_i y su n mero ser :

$\Delta S(t) = S(t-\tau_i)-S(t-\tau_f)$

donde S(t) es el n mero total de sanos nacidos hasta el tiempo t.

(ID 8094)

El n mero total de portadores que est n procreando es igual a aquellos que en el tiempo t tienen edad entre \tau_i y \tau. Por ello nacieron hace un tiempo t-\tau_f y t-\tau_i y su n mero ser :

$\Delta P(t) = P(t-\tau_i)-P(t-\tau_f)$

donde P(t) es el n mero total de portadores nacidos hasta el tiempo t.

(ID 8095)

El n mero total de casos que est n procreando es igual a aquellos que en el tiempo t tienen edad entre \tau_i y \tau. Por ello nacieron hace un tiempo t-\tau_f y t-\tau_i y su n mero ser :

$\Delta C(t) = C(t-\tau_i)-C(t-\tau_f)$

donde C(t) es el n mero total de casos nacidos hasta el tiempo t.

(ID 8096)

El n mero total de personas que pueden procrear es la suma de los sanos \Delta S(t), portadores \Delta P(t) y casos \Delta C(t):

$\Delta N(t) = \Delta S(t)+\Delta P(t)+\Delta C(t)$

(ID 8107)

Si la formaci n de parejas no dependiente de la enfermedad, la formaci n de parejas se dar a en la proporci n de los posibles tipos de personas:

Proporci n | Descripci n
--------|--------------------
$\displaystyle\frac{\Delta S}{\Delta N}$ | Personas sanas
$\displaystyle\frac{\Delta P}{\Delta N}$ | Personas portadores
$\displaystyle\frac{\Delta C}{\Delta N}$ | Personas casos


Si todos forman parejas se tendr $\Delta N/2$ de estas. La probabilidad de que esta sea de un tipo es igual al producto de la proporciones respectivas. Estas se dan en las siguientes combinaciones:

\ | S | P | C
-------------|---|----|----
**S** | $\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N^2}$
**P** | $\displaystyle\frac{\Delta P\Delta S}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N^2}$
**C** | $\displaystyle\frac{\Delta C\Delta S}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta C\Delta P}{\Delta N^2}$ | $\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N^2}$


Por ello el n mero de parejas seg n tipo ser n


Tipo de pareja | N mero
----------|--------------------
S-S | $\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}$
S-P | $\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}$
S-C | $\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}$
P-P | $\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}$
P-C | $\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$
C-C | $\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}$


Como tanto la formaci n de parejas como el n mero de ni os que esta tenga si depende de la existencia de la enfermedad se pueden introducir seis constantes $K_{ss}$, $K_{sp}$, $K_{sc}$, $K_{pp}$, $K_{pc}$ y $K_{cc}$ de modo que el n mero de dependientes ser

Tipo de pareja | N mero de ni os
----------|--------------------
S-S | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{ss}\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}$
S-P | $K_{sp}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}$
S-C | $K_{sc}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}$
P-P | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}$
P-C | $K_{pc}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$
C-C | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{cc}\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}$

(ID 8093)

La diferencia entre portadores y casos es que ambos primeros presentan el defecto gen tico pero solo el segundo grupo muestra los s ntomas de la enfermedad.

La propagaci n en este caso ocurre mediante la procreaci n. Seg n los padres sean S, P o C los hijos pueden terminar con alguna de las probabilidades de que los hijos sean del tipo S, P o C:

| Tipo de pareja | Sano (S) | Portador (P) | Caso (C) |
|:----------:|:------------:|:----------------:|:-------------:|
| S-S | 1.00 | - | - |
| P-P | 0.25 | 0.50 | 0.25 |
| C-C | - | - | 1.00 |
| S-P | 0.50 | 0.50 | - |
| S-C | - | 1.00 | - |
| P-C | - | 0.50 | 0.50 |

Consierando la cantidad de ni os por a os que se puede esperar en cada tipo y la tabla anterior que indica como se distribuyen los restado


| Tipo de pareja | C lculo | Sano (S) | Portador (P) | Caso (C) |
|:----------:|:--------:|:------------:|:----------------:|:-------------:|
| S-S | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{ss}\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}$ | $1$ | - | - |
| P-P | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}$ | $\displaystyle\frac{1}{4}$ | $\displaystyle\frac{1}{2}$ | $\displaystyle\frac{1}{4}$ |
| C-C | $\displaystyle\frac{1}{2}K_{cc}\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}$ | - | - | $1$ |
| S-P | $K_{sa}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}$ | $\displaystyle\frac{1}{2}$ | $\displaystyle\frac{1}{2}$ | - |
| S-C | $K_{sc}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}$ | - | $1$ | - |
| P-C | $K_{ac}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$ | - | $\displaystyle\frac{1}{2}$ | $\displaystyle\frac{1}{2}$ |

donde el factor 2 en los tres ltimos t rminos se debe a la simetr a entre hombre y mujer (ej. en AC el hombre puede ser el portador pero tambi n la mujer por lo que hay dos casos).

Con estas estimaciones y la tabla de proporciones entre los descendientes lleva a que el n mero de nacimientos sanos por tiempo es:

$\displaystyle\frac{1}{2}K_{ss}\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\frac{1}{2}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{sp}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}$

de los portadores

$\displaystyle\frac{1}{2}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{sp}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}+K_{sc}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{pc}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$

y de los casos

$\displaystyle\frac{1}{8}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{cc}\displaystyle\frac{\Delta C^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{pc}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$

Hay que tener presente que estas expresiones estiman el incremento de las poblaciones de susceptibles, portadores y casos en un tiempo $t$ con las poblaciones que se encuentran en las etapas f rtiles. Si se supone que la etapa f rtil se inicia a una edad $t_i$ y termina a una edad $t_f$ los $S$, $A$ y $C$ corresponden a la suma de todos aquellos que se encuentren en dicho rango de edad, es decir nacidos en un tiempo entre $t-t_f$ y $t-t_i$.

(ID 4070)

A diferencia de los modelos tradicionales tipo SIR (Suceptibles-Infectados-Recuperados) en el caso gen tico la persona deja de contribuir a la propagaci n al momento que pierde la fertilidad. Por ello la evoluci n de las poblaciones de sanos S, portadores P y casos C deben ser calculados siempre de las poblaciones en el rango f rtil.

(ID 6836)

Die Anzahl der gesunden s , die zum Zeitpunkt t geboren wurden, wird aus Kindern berechnet, die aus der gesamten fruchtbaren Population anf lliger \ Delta S geboren wurden. \ Delta P -Tr ger und \ Delta C -F lle, die in t -Zeit existieren. Daher lautet die Gleichung f r in t geborene Suszeptibilit ten:

$s=K_{ss}\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{8}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{sp}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}$

K_ {ss} sind die Kinder pro Jahr von Paaren, bei denen beide gesund sind, K_ {pp} sind die Kinder pro Jahr von Paaren, bei denen beide Tr ger und K_ {sp} Kinder pro Jahr von Paaren, bei denen ein Mitglied gesund ist und das andere Tr ger ist.

(ID 6848)

Die Anzahl der zum Zeitpunkt t geborenen p -Tr ger wird aus Kindern berechnet, die aus der gesamten fruchtbaren Population anf lliger \ Delta S geboren wurden. \ Delta P -Tr ger und \ Delta C -F lle, die in t -Zeit existieren. Daher lautet die Gleichung f r in t geborene Suszeptibilit ten:

$p=\displaystyle\frac{1}{4}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{sp}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}+K_{sc}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{pc}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$

mit S die Anzahl der gesunden, C die Anzahl der F lle. K_ {pp} sind die Kinder pro Jahr von Paaren, bei denen beide Tr ger sind, K_ {sp} sind die Kinder pro Jahr von Paaren, bei denen ein Mitglied gesund ist und die Ein anderer Tr ger, K_ {sc} , sind die Kinder pro Jahr von Paaren, bei denen ein Mitglied gesund ist, und der andere Fall und K_ {pc} sind die Kinder pro Jahr von Paaren in dem ein Mitglied ein Bef rderer ist und der andere Fall.

(ID 6849)

El n mero de casos $C$ varia en funci n de los nacimientos de ni os que presentan la mutaciones y sintomas menos aquellos que mueren en el periodo:

$\displaystyle\frac{dC}{dt}=\displaystyle\frac{1}{4}K_{pp}\displaystyle\frac{P^2}{N}+K_{cc}\displaystyle\frac{C^2}{N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{pc}\displaystyle\frac{PC}{N} - b_cC$

con $S$ el n mero de sanos, $P$ el n mero de portadores, $K_{ss}$ los ni os por a o de parejas en que ambos son sanos, $K_{pp}$ los ni os por a o de parejas en que ambos son portadores, $K_{cc}$ son los ni os por a o de parejas en que ambos son casos y $K_{pc}$ son los ni os por a o de parejas en que un miembro es portador y el otro caso. $b_c$ es la probabilidad de muerte por a o de personas caso.

(ID 6850)

La introducci n de los distintos K's supone que las distintas parejas muestran un comportamiento distinto teniendo distinta cantidad de descendientes dependiente de su situaci n gen tica.\\n\\nSi se supone que las personas solo cambian su actitud en la medida que existen s ntomas visibles se tendr an tres grupos:\\n\\n* Ambos progenitores no muestran s ntomas. Esto se da en las parejas del tipo $SS$, $SP$ y $PP$.\\n* Uno de los progenitores presenta s ntomas. Esto se da en las parejas del tipo $SC$ y $PC$.\\n* Ambos progenitores muestran los sintomas. Esto se dar a solo en las parejas del tipo $CC$.\\n\\nLa constante asociada a la primera situacion la podemos denominar $K_s$ y se tendria que\\n\\n

$K_s=K_{ss}=K_{sp}=K_{pp}$

\\n\\nLa constante asociada a la segunda situaci n se puede denominar $K_p$ y en general ser \\n\\n

$K_p=K_{sc}=K_{pc}$

\\n\\nPor simetr a se introduce ademas la constante $K_c$ de modo que el factor de las parejas $K_{cc}$ es\\n\\n

$K_c=K_{cc}$

(ID 8080)

Im allgemeinen Modell wird die Anzahl der gesunden s, die zum Zeitpunkt t geboren werden, berechnet aus:

$s=K_{ss}\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{8}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{sp}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}$

was mit

$S(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}s(u)du$

was im vereinfachten Fall auf reduziert wird

$\displaystyle\frac{dS}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s\left(\displaystyle\frac{\Delta S^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}\right)$

(ID 8077)

Im allgemeinen Modell wird die Anzahl der Tr ger a, die zum Zeitpunkt t geboren werden, berechnet aus:

$p=\displaystyle\frac{1}{4}K_{pp}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{sp}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}+K_{sc}\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}K_{pc}\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}$

was mit

$P(t)=\displaystyle\int_{0}^{t}p(u)du$

was im vereinfachten Fall auf reduziert wird

$\displaystyle\frac{dP}{dt}=\displaystyle\frac{1}{2}K_s\left(\displaystyle\frac{\Delta S\Delta P}{\Delta N}+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\Delta P^2}{\Delta N}\right)+K_p\left(\displaystyle\frac{\Delta S\Delta C}{\Delta N}+\displaystyle\frac{\Delta P\Delta C}{\Delta N}\right)$

(ID 8078)

El n mero de casos $c$ que nace en el tiempo $t$ se calcula de los ni os que nazcan de las poblaciones f rtiles totales de susceptibles $S$, portadores $A$ y casos $C$ existentes en el tiempo $t$. Por ello la ecuaci n para los susceptibles que nacen en $t$ es:

$\displaystyle\frac{dc}{dt}=\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\frac{K_{aa}}{2N}A^2+\displaystyle\frac{K_{cc}}{2N}C^2+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{K_{ac}}{N}AC$

con $S$ el n mero de sanos, $A$ el n mero de portadores, $K_{ss}$ los ni os por a o de parejas en que ambos son sanos, $K_{aa}$ los ni os por a o de parejas en que ambos son portadores, $K_{cc}$ son los ni os por a o de parejas en que ambos son casos y $K_{ac}$ son los ni os por a o de parejas en que un miembro es portador y el otro caso.

(ID 8079)