Cuando corre viento por un lugar en que existen nubes o neblina el movimiento del aire comienza a ejercer fuerza sobre las peque as gotas pudiendo arrastrarlas.

The resistance is defined in terms of the fluid viscosity and the sphere's velocity as follows:

equation=3243

Stokes explicitly calculated the resistance experienced by the sphere and determined that viscosity is proportional to the sphere's radius and its velocity, leading to the following equation for resistance:

kyon

Como la fuerza que ejerce el viento de velocidad $V$ es igual a

$F=6\pi\eta a (V-v)$

se tiene que la velocidad de puede calcular de resolver la ecuaci n

$m\displaystyle\frac{dv}{dt}=6\pi\eta a (V-v)$

donde $m$ es la masa de la gota. Si la masa se calcula del radio $a$ y densidad del agua $\rho_w$ mediante

$m=\displaystyle\frac{4\pi}{3}a^3\rho_w$

se tiene la ecuaci n

$\displaystyle\frac{dv}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau} (V-v)$

con el tiempo caracteristico

$\tau =\displaystyle\frac{2a^2\rho_w}{9\eta}$

La soluci n es por ello

$v(t)=V(1-e^{-t/\tau})$

El tiempo caracteristico es

$\tau =\displaystyle\frac{2a^2\rho_w}{9\eta}$

lo que permite estudair en que escala de tiempo ocurre la aceleraci n.


clouds006


clouds007

Si se integra la ecuaci n

$\displaystyle\frac{dv}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau}(V-v)$

en eltiempo se obtiene que el camino en el tiempo es igual a

$x(t)=V\tau(\displaystyle\frac{t}{\tau}-1+e^{-t/\tau})$

Dado que el tiempo caracter stico es solo de algunos segundos se puede considerar que las gotas viajan a velocidad constante tanto con el viento como en su ca da. Por ello, si la velocidad del viento es $V$ el camino recorrido en un tiempo $t$ ser

$d=Vt$

Como $t$ es el tiempo de la ca da, si $h$ es la altura y la velocidad de caida es

$v=\displaystyle\frac{2r^2\rho_w g}{9\eta}$

se tiene que el tiempo de ca da ser

$t=\displaystyle\frac{h}{v}$

por lo que la distancia viajada ser

$d=\displaystyle\frac{9\eta}{2\rho_w g}\displaystyle\frac{Vh}{r^2}$

Por ello

> *La distancia recorrida es proporcional a la velocidad del viento y la altura inicial e inversamente proporcional al radio de la gota:*

> *$d\prop\displaystyle\frac{Vh}{r^2}*$

Si se considera que el viento viaja a $1,m/s$ y las gotas tienen un radio entre $1\mu m$ y $1000\mu m=1,mm$ y est n a una altura entre $3,m$ y $300,m$ se obtienen las distancias recorridas graficadas (en metros y escala logar tmica) continuaci n:


Distancia recorrida para viento de $1,m/s$.

La parte superior recortada corresponde a distancias mayores que $100,km$. Las distancias menores ($cm$) se dan para gotas grandes ($1, mm$) a baja altura ($3,m$).

Para el caso de lluvia ($r > 0.1,mm$) todas las gotas distribuidas en el rango de altura alcanzan el suelo antes de llegar a una distancia de los $10,m$.

Para el caso de neblina ($r < 50\mu m$) practicamente ninguna gota alcanza suelo.

Si se considera que el viento viaja a $5,m/s$ y las gotas tienen un radio entre $1\mu m$ y $1000\mu m=1,mm$ y est n a una altura entre $3,m$ y $300,m$ se obtienen las distancias recorridas graficadas (en metros y escala logar tmica) continuaci n:


Distancia recorrida para viento de $5,m/s$.

La parte superior recortada corresponde a distancias mayores que $100,km$. Las distancias menores ($cm$) se dan para gotas grandes ($1, mm$) a baja altura ($3,m$).

Para el caso de lluvia ($r > 0.1,mm$) todas las gotas distribuidas en el rango de altura alcanzan el suelo antes de llegar a una distancia de unos $400,m$.

Para el caso de neblina ($r < 50\mu m$) practicamente ninguna gota alcanza suelo.

Si se considera que el viento viaja a $10,m/s$ y las gotas tienen un radio entre $1\mu m$ y $1000\mu m=1,mm$ y est n a una altura entre $3,m$ y $300,m$ se obtienen las distancias recorridas graficadas (en metros y escala logar tmica) continuaci n:


Distancia recorrida para viento de $10,m/s$.

La parte superior recortada corresponde a distancias mayores que $100,km$. Las distancias menores ($cm$) se dan para gotas grandes ($1, mm$) a baja altura ($3,m$).

Para el caso de lluvia ($r > 0.1,mm$) todas las gotas distribuidas en el rango de altura alcanzan el suelo antes de llegar a una distancia de unos $1200,m$.

Para el caso de neblina ($r > 50\mu m$) practicamente ninguna gota alcanza suelo.