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Parabola
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ID:(616, 0)


Parábola
Ecuación

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Una parábola corresponde a la función

$ y = a x ^2+ b x + c $

ID:(11895, 0)


Ajuste a una parábola
Ecuación

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Para ajustar datos (x_i,y_i) a una parábola del tipo

$ y = a x ^2+ b x + c $



se debe calcular los valores a, b y c tal que la diferencia de los cuadrados

$\displaystyle\sum_i( y_i - a x_i ^2- b x_i - c )^2= min $

sea un mínimo.

ID:(6895, 0)


Coeficiente $a$
Ecuación

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Si se deriva

$\displaystyle\sum_i( y_i - a x_i ^2- b x_i - c )^2= min $

\\n\\nrespecto de a y se iguala a cero el resultado se obtiene la ecuación:\\n\\n

$aS_{x4}+bS_{x3}-S_{x2y}+cS_{x2}=0$



donde

$ S_{xnym} =\displaystyle\sum_i^N x_i ^n y_i ^m$

\\n\\nen que en el caso que n o m sean cero no se escribe el factor x o y y en el caso de la unidad no se incluye el número.\\n\\nSi se repite la operación para b se obtiene la ecuación:\\n\\n

$-S_{xy}+aS_{x3}+bS_{x2}+cS_x=0$

\\n\\ncon la misma definición de los factores S_{xnym}.\\n\\nSi se repite la operación para c se obtiene la ecuación:\\n\\n

$cN-S_y+aS_{x2}+bS_x=0$



con la misma definición de los factores S_{xnym}.

La solución de las ecuaciones lleva a que la pendiente a es

$ a =\displaystyle\frac{ S_{x2y} ( S_x ^2- S_{x2} N )- S_{x3} ( S_{xy} N - S_x S_y )- S_{x2} ^2 S_y + S_x S_{x2} S_{xy} )}{ S_{x4} ( S_{x2} N - S_x ^2)- S_{x3} ^2 N +2 S_x S_{x2} S_{x3} - S_{x2} ^3}$

ID:(6896, 0)


Coeficiente $b$
Ecuación

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Si se deriva

$\displaystyle\sum_i( y_i - a x_i ^2- b x_i - c )^2= min $

\\n\\nrespecto de a y se iguala a cero el resultado se obtiene la ecuación:\\n\\n

$aS_{x4}+bS_{x3}-S_{x2y}+cS_{x2}=0$



donde

$ S_{xnym} =\displaystyle\sum_i^N x_i ^n y_i ^m$

\\n\\nen que en el caso que n o m sean cero no se escribe el factor x o y y en el caso de la unidad no se incluye el número.\\n\\nSi se repite la operación para b se obtiene la ecuación:\\n\\n

$-S_{xy}+aS_{x3}+bS_{x2}+cS_x=0$

\\n\\ncon la misma definición de los factores S_{xnym}. \\n\\nSi se repite la operación para c se obtiene la ecuación:\\n\\n

$cN-S_y+aS_{x2}+bS_x=0$



con la misma definición de los factores S_{xnym}.

La solución de las ecuaciones lleva a que la pendiente b es

$ b =\displaystyle\frac{ S_{x4} ( S_{xy} N - S_x S_y )+ S_{x3} ( S_{x2} S_y - S_{x2y} N )- S_{x2} ^2 S_{xy} + S_x S_{x2} S_{x2y} }{ S_{x4} ( S_{x2} N - S_x ^2)- S_{x3} ^2 N +2 S_x S_{x2} S_{x3} - S_{x2} ^3}$

ID:(6898, 0)


Coeficiente $c$
Ecuación

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Si se deriva

$\displaystyle\sum_i( y_i - a x_i ^2- b x_i - c )^2= min $

\\n\\nrespecto de a y se iguala a cero el resultado se obtiene la ecuación:\\n\\n

$aS_{x4}+bS_{x3}-S_{x2y}+cS_{x2}=0$



donde

$ S_{xnym} =\displaystyle\sum_i^N x_i ^n y_i ^m$

\\n\\nen que en el caso que n o m sean cero no se escribe el factor x o y y en el caso de la unidad no se incluye el número.\\n\\nSi se repite la operación para b se obtiene la ecuación:\\n\\n

$-S_{xy}+aS_{x3}+bS_{x2}+cS_x=0$

\\n\\ncon la misma definición de los factores S_{xnym}.\\n\\nSi se repite la operación para c se obtiene la ecuación:\\n\\n

$cN-S_y+aS_{x2}+bS_x=0$



con la misma definición de los factores S_{xnym}.

La solución de las ecuaciones lleva a que la pendiente c es

$ c =\displaystyle\frac{ S_{x4} ( S_{x2} S_y - S_x S_{xy} )- S_{x3} ^2 S_y + S_{x3} ( S_{x2} S_{xy} + S_x S_{x2y} )- S_{x2} ^2 S_{x2y} }{ S_{x4} ( S_{x2} N - S_x ^2)- S_{x3} ^2 N +2 S_x S_{x2} S_{x3} - S_{x2} ^3}$

ID:(6897, 0)


Simulador
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El demo adjunto permite realizar una ajuste por mínimos cuadrados de una parabola.

ID:(8082, 0)