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ID:(618, 0)

Equation

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Para ajustar datos $(x_i,y_i)$ a una parábola del tipo

$y=ax^2+bx+c$

un un punto fijo $(x_0,y_0)$ se puede escribir como

$y=y_0+a(x^2-x_0^2)+b(x-x_0)$

Por ello el factor $c$ debe ser

$c=y_0-ax_0^2-bx_0$

mientras que los valores $a$ y $b$ deben ser tal que la diferencia de los cuadrados

$\sum_i\left(y_i-y_0-a(x_i^2-x_0^2)-b(x_i-x_0)\right)^2=min$

sea un mínimo.

ID:(8748, 0)

Equation

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Si se tiene una serie x_i y otra de y_i de N puntos se puede calcular su suma de sus productos en las potencias n y m respectivamente:

ID:(8847, 0)

Equation

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Si se deriva

$\sum_i\left(y_i-ax_i^2-bx_i-y_0-\displaystyle\frac{b^2}{4a}\right)^2=min$

respecto de $a$ y se iguala a cero el resultado se obtien la ecuación:

$b^2(S_y-y_0N)+4a^2(S_{x2}y_0-S_{x2y})+4a^3S_{x4}+4a^2bS_{x3}=0$

donde

$S_{x,n,y,m}=\sum_ix_i^ny_i^m$

en que en el caso que $n$ o $m$ sean cero no se escribe el factor $x$ o $y$ y en el caso de la unidad no se incluye el número.

Si se repite la operación para $b$ se obtiene la ecuación:

$b(y_0N-S_y)+2a(S_xy_0-S_{xy})+2a^2S_{x3}=0$.

La solución de las ecuaciones lleva a que la pendiente $a$ es

$a=\displaystyle\frac{S_{x2y}(S_x^2-S_{x2}N)-S_{x3}(S_{xy}N-S_xS_y)-S_{x2}^2S_y+S_xS_{x2}S_{xy})}{S_{x4}(S_{x2}N-S_x^2)-S_{x3}^2N+2S_xS_{x2}S_{x3}-S_{x2}^3}$

ID:(8749, 0)

Equation

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Si se deriva

$\sum_i\left(y_i-y_0-a(x_i^2-x_0^2)-b(x_i-x_0)\right)^2=min$

respecto de $a$ y se iguala a cero el resultado se obtien la ecuación:

$-x_0^2y_0N+y_0S_{x2}+S_yx_0^2-S_x2y+a(x_0^4N-2x_0^2S_{x2}+S_{x4})+b(x_0^3N-x_0^2S_x-x_0S_{x2}

+S_x3)=0$

donde

$S_{x,n,y,m}=\sum_ix_i^ny_i^m$

en que en el caso que $n$ o $m$ sean cero no se escribe el factor $x$ o $y$ y en el caso de la unidad no se incluye el número.

Si se repite la operación para $b$ se obtiene la ecuación:

$-x_0y_0N+y_0S_x+x_0S_y-S_{xy}+a(x_0^3N-x_0^2S_x-x_0S_{x2}+S_{x3})+b(x_0^2N-2x_0S_x+S_{x2})=0$.

La solución de las ecuaciones lleva a que la pendiente $a$ es

$a=\displaystyle\frac{((NS_{x2}-S_x^2)x_0^2+(S_xS_{x2}-NS_{x3})x_0+S_xS_{x3}-S_{x2}^2)y_0+(S_xS_y-NS_{xy})x_0^3+

(-2S_{x2}S_y+S_xS_{xy}+NS_{x2y})x_0^2+(S_{x3}S_y+S_{x2}S_{xy}-2S_xS_{x2y})x_0-S_{x3}S_{xy}+S_{x2}S_{x2y}}{

(NS_{x2}-S_x^2)x_0^4

+(2S_xS_{x2}-2NS_{x3})x_0^3+(NS_{x4}+2S_xS_{x3}-3S_{x2}^2)x_0^2+(2S_{x2}S_{x3}-2S_xS_{x4})x_0+S_{x2}S_{x4}-S_{x3}^2}$

ID:(8845, 0)

Equation

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Si se deriva

$\sum_i\left(y_i-ax_i^2-bx_i-y_0-\displaystyle\frac{b^2}{4a}\right)^2=min$

respecto de $a$ y se iguala a cero el resultado se obtien la ecuación:

$b^2(S_y-y_0N)+4a^2(S_{x2}y_0-S_{x2y})+4a^3S_{x4}+4a^2bS_{x3}=0$

donde

$S_{x,n,y,m}=\sum_ix_i^ny_i^m$

en que en el caso que $n$ o $m$ sean cero no se escribe el factor $x$ o $y$ y en el caso de la unidad no se incluye el número.

Si se repite la operación para $b$ se obtiene la ecuación:

$b(y_0N-S_y)+2a(S_xy_0-S_{xy})+2a^2S_{x3}=0$.

La solución de las ecuaciones lleva a que la pendiente $b$ es

$b=\displaystyle\frac{S_{x4}(S_{xy}N-S_xS_y)+S_{x3}(S_{x2}S_y-S_{x2y}N)-S_{x2}^2S_{xy}+S_xS_{x2}S_{x2y}}{S_{x4}(S_{x2}N-S_x^2)-S_{x3}^2N+2S_xS_{x2}S_{x3}-S_{x2}^3}$

ID:(8750, 0)

Equation

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Si se deriva

$\sum_i\left(y_i-y_0-a(x_i^2-x_0^2)-b(x_i-x_0)\right)^2=min$

respecto de $a$ y se iguala a cero el resultado se obtien la ecuación:

$-x_0y_0N+y_0S_x+x_0S_y-S_{xy}+a(x_0^3N-x_0^2S_x-x_0S_{x2}+S_{x3})+b(x_0^2N-2x_0S_x+S_{x2})=0$

donde

$S_{x,n,y,m}=\sum_ix_i^ny_i^m$

en que en el caso que $n$ o $m$ sean cero no se escribe el factor $x$ o $y$ y en el caso de la unidad no se incluye el número.

Si se repite la operación para $b$ se obtiene la ecuación:

$-x_0^2y_0N+y_0S_{x2}+S_yx_0^2-S_x2y+a(x_0^4N-2x_0^2S_{x2}+S_{x4})+b(x_0^3N-x_0^2S_x-x_0S_x2
+S_x3)=0$

La solución de las ecuaciones lleva a que la pendiente $b$ es

ID:(8846, 0)