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Parabola, con mínimo fijo
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Para ajustar datos $(x_i,y_i)$ a una parábola del tipo
$y=ax^2+bx+c$
cuyo mínimo tiene un valor $y_0$. El mínimo se encuentra en
$x_0=-\displaystyle\frac{b}{2a}$
y el valor del mínimo debe ser
$y_0=ax_0^2+bx_0+c=c-\displaystyle\frac{b^2}{4a}$
Por ello el factor $c$ debe ser
$c=y_0+\displaystyle\frac{b^2}{4a}$
mientras que los valores $a$ y $b$ deben ser tal que la diferencia de los cuadrados
$\sum_i\left(y_i-ax_i^2-bx_i-y_0-\displaystyle\frac{b^2}{4a}\right)^2=min$
sea un mínimo.
ID:(6912, 0)
Coeficiente $a$
Equation
Si se deriva
$\sum_i(y_i-ax_i^2-bx_i-c)^2=min$
respecto de $a$ y se iguala a cero el resultado se obtien la ecuación:
$aS_{x4}+bS_{x3}-S_{x2y}+cS_{x2}=0$
donde
$S_{x,n,y,m}=\sum_ix_i^ny_i^m$
en que en el caso que $n$ o $m$ sean cero no se escribe el factor $x$ o $y$ y en el caso de la unidad no se incluye el número.
Si se repite la operación para $b$ se obtiene la ecuación:
$-S_{xy}+aS_{x3}+bS_{x2}+cS_x=0$.
Si se repite la operación para $c$ se obtiene la ecuación:
$cN-S_y+aS_{x2}+bS_x=0$.
La solución de las ecuaciones lleva a que la pendiente $a$ es
$a=\displaystyle\frac{S_{x2y}(S_x^2-S_{x2}N)-S_{x3}(S_{xy}N-S_xS_y)-S_{x2}^2S_y+S_xS_{x2}S_{xy})}{S_{x4}(S_{x2}N-S_x^2)-S_{x3}^2N+2S_xS_{x2}S_{x3}-S_{x2}^3}$
ID:(6913, 0)
Coeficiente $b$
Equation
Si se deriva
$\sum_i(y_i-ax_i^2-bx_i-c)^2=min$
respecto de $a$ y se iguala a cero el resultado se obtien la ecuación:
$aS_{x4}+bS_{x3}-S_{x2y}+cS_{x2}=0$
donde
$S_{x,n,y,m}=\sum_ix_i^ny_i^m$
en que en el caso que $n$ o $m$ sean cero no se escribe el factor $x$ o $y$ y en el caso de la unidad no se incluye el número.
Si se repite la operación para $b$ se obtiene la ecuación:
$-S_{xy}+aS_{x3}+bS_{x2}+cS_x=0$
Si se repite la operación para $c$ se obtiene la ecuación:
$cN-S_y+aS_{x2}+bS_x=0$
La solución de las ecuaciones lleva a que la pendiente $b$ es
$b=\displaystyle\frac{S_{x4}(S_{xy}N-S_xS_y)+S_{x3}(S_{x2}S_y-S_{x2y}N)-S_{x2}^2S_{xy}+S_xS_{x2}S_{x2y}}{S_{x4}(S_{x2}N-S_x^2)-S_{x3}^2N+2S_xS_{x2}S_{x3}-S_{x2}^3}$
ID:(6914, 0)