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Modelo de Einstein
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Variablen
Berechnungen
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Berechnungen
Variable
Gegeben
Berechnen
Ziel :
Gleichung
Zu verwenden
Gleichungen
(ID 9537)
Beispiele
La integraci n de la funci n partici n del modelo b sico de un solido que es con
| $\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})\sigma(\omega)$ |
depende de la distribuci n de modos
Una aproximaci n relativamente simple es la de asumir que todos los osciladores tengan la misma frecuencia angular. Por ello con
| $ \sigma( \omega )d \omega = \sigma_E \delta( \omega - \omega_E ) d \omega $ |
El modelo se debe a Einstein por lo que la frecuencia angular
(ID 9535)
La distribuci n de modos
Por ello con se debe dar
| $ \displaystyle\int_0^{\infty} \sigma_E( \omega ) d \omega =3 N $ |
(ID 9536)
Si se introduce con densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$ und numero de partículas $-$ en la condici n
| $ \displaystyle\int_0^{\infty} \sigma_E( \omega ) d \omega =3 N $ |
la distribuci n con densidad de modos del solido $s$, densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$ und frecuencia angular propia de Einstein $1/s$
| $ \sigma( \omega )d \omega = \sigma_E \delta( \omega - \omega_E ) d \omega $ |
se obtiene con densidad de modos del solido $s$, densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$ und frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ el factor de distribuci n
| $ \sigma_E = 3 N $ |
(ID 9537)
La distribuci n con densidad de modos del solido $s$, densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$ und frecuencia angular propia de Einstein $1/s$
| $ \sigma( \omega )d \omega = \sigma_E \delta( \omega - \omega_E ) d \omega $ |
con densidad de modos del solido de Einstein $s$ und numero de partículas $-$ la condici n
| $ \sigma_E = 3 N $ |
se obtiene la distribuci n de frecuencias angulares de Einstein con densidad de modos del solido de Einstein $s$ und numero de partículas $-$
| $ \sigma_E( \omega ) d \omega = 3 N \delta( \omega - \omega_E ) d \omega $ |
(ID 9538)
En el modelo de Einstein la energ a m nima, que es con igual a
| $ \eta \equiv - \displaystyle\frac{1}{ N }\left( V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} \int_0^{\infty} \hbar \omega \sigma( \omega ) d \omega \right)$ |
se reduce con la distribuci n de Einstein con densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$, frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ und numero de partículas $-$
| $ \sigma_E( \omega ) d \omega = 3 N \delta( \omega - \omega_E ) d \omega $ |
a
| $ \eta = - 3V_0 -\displaystyle\frac{3}{2}\hbar\omega_E$ |
(ID 13263)
Con el logaritmo de la funci n partici n es con
| $\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})\sigma(\omega)$ |
y la distribuci n de Einstein es con densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$, frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ und numero de partículas $-$
| $ \sigma_E( \omega ) d \omega = 3 N \delta( \omega - \omega_E ) d \omega $ |
se obtiene la funci n partici n con densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$, frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ und numero de partículas $-$
| $ \ln Z = \beta N \eta -3 N \ln(1-e^{ -\beta \hbar \omega_E })$ |
(ID 9539)
Para simplificar el calculo se introduce la llamada temperatura de Einstein con
| $ \Theta_E =\displaystyle\frac{ \hbar \omega_E }{ k_B }$ |
Los valores t picos de la temperatura de Einstein para distintos materiales se listan a continuaci n (valores calculados de los largos de onda de Einstein de su publicaci n)
| Elemento | $\lambda_E$ [$\mu$] | $\omega_E$ [$1/s$] | $\Theta_E$ [$K$] |
| $S,P$ | 42 | 4.49e+13 | 343.0 |
| $Fl$ | 33 | 5.71e+13 | 436.5 |
| $O$ | 21 | 8.98e+13 | 685.9 |
| $SiO_2$ | 20 | 9.42e+13 | 720.2 |
| $B$ | 15 | 1.26e+14 | 960.3 |
| $H$ | 13 | 1.45e+14 | 1108.0 |
| $C$ | 12 | 1.57e+14 | 1200.4 |
(ID 9543)
La funci n partici n con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia de Einstein $1/s$, logaritmo de la función partición del solido de Einstein $-$ und numero de partículas $-$
| $ \ln Z = \beta N \eta -3 N \ln(1-e^{ -\beta \hbar \omega_E })$ |
con
| $ \eta = - 3V_0 -\displaystyle\frac{3}{2}\hbar\omega_E$ |
se puede reescribir con la temperatura de Einstein con constante de Boltzmann $J/K$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ und temperatura de Einstein $K$
| $ \Theta_E =\displaystyle\frac{ \hbar \omega_E }{ k_B }$ |
con la definici n de la energ a m nima con
| $ \Theta_E =\displaystyle\frac{ \hbar \omega_E }{ k_B }$ |
como con
| $ \ln Z_E =-\displaystyle\frac{3 N }{2}\displaystyle\frac{ \Theta_E }{ T }-\displaystyle\frac{ NV_0 }{ k_B T }-3 N \ln(1-e^{- \Theta_E / T })$ |
(ID 9551)
En el limite de altas temperaturas, la funci n partici n con constante de Boltzmann $J/K$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, logaritmo de la función partición del solido de Einstein $-$, temperatura $K$ und temperatura de Einstein $K$
| $ \ln Z_E =-\displaystyle\frac{3 N }{2}\displaystyle\frac{ \Theta_E }{ T }-\displaystyle\frac{ NV_0 }{ k_B T }-3 N \ln(1-e^{- \Theta_E / T })$ |
se puede expandir en serie de Taylor de
| $ \ln Z =-\displaystyle\frac{ V_0 }{ k_B T }+\displaystyle\frac{3 N }{2}\left(\displaystyle\frac{ \Theta_E }{ T }\right)^2-\displaystyle\frac{ N }{2}\left(\displaystyle\frac{ \Theta_E }{ T }\right)^3+\ldots$ |
(ID 9552)
Si se consideran los modelos cl sicos, de Einstein y de Debye para
- el logarimo de la funci n partici n
- la energ a interna
- el calor espec fico
- la entropia
se obtienen las siguientes dependencias de la temperatura:
(ID 9560)
ID:(1202, 0)