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Energy Distribution
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The partition function not only allows calculating the average value of energy, it also allows determining the mean value of the square and thus the standard deviation of the probability of energy.
ID:(1570, 0)
Quadratic energy average
Equation
La energía promedio se calcula como el promedio ponderado de las energías al cuadrado con la probabilidad de los distintos estados
| $P_r=Ce^{-\beta E_r}$ |
\\n\\nde la forma\\n\\n
$\bar{E^2}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_rP_rE_r^2}{\displaystyle\sum_rP_r}$
con lo que se obtiene con
| $\bar{E^2}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_rE_r^2e^{-\beta E_r}}{\displaystyle\sum_re^{-\beta E_r}}$ |
ID:(11617, 0)
Average squared energy
Equation
Como el promedio de la energía al cuadrado es con beta del sistema $1/J$, energía del estado $r$ $J$, numero del estado $-$ and promedio de la energía al cuadrado $J^2$
| $\bar{E^2}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_rE_r^2e^{-\beta E_r}}{\displaystyle\sum_re^{-\beta E_r}}$ |
\\n\\ny como la expresión en el numerador se puede escribir como\\n\\n
$\sum_re^{-\beta E_r}E_r^2=-\displaystyle\frac{\partial}{\partial\beta}\left(\sum_re^{-\beta E_r}E_r\right)=\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial\beta^2}\left(\sum_re^{-\beta E_r}\right)$
se tiene con la definición de la función partición con
| $Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}$ |
que con
| $\overline{E^2}=\displaystyle\frac{1}{Z}\displaystyle\frac{\partial^2Z}{\partial\beta^2}$ |
ID:(3529, 0)
Dispersion Energy
Equation
Como la energía promedio es con
| $\bar{E}=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$ |
el promedio del cuadrado de la energía es con
| $\overline{E^2}=\displaystyle\frac{1}{Z}\displaystyle\frac{\partial^2Z}{\partial\beta^2}$ |
\\n\\ny la dispersión se calcula como\\n\\n
$\overline{(\Delta E)^2}=\overline{E^2}-\overline{E}^2$
\\n\\nse tiene que\\n\\n
$\overline{(\Delta E)^2}=\displaystyle\frac{1}{Z}\displaystyle\frac{\partial^2Z}{\partial\beta^2}-\left(\displaystyle\frac{1}{Z}\displaystyle\frac{\partial Z}{\partial\beta}\right)^2$
lo que se puede mostrar con es igual a
| $\overline{(\Delta E)^2}=\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z}{\partial\beta^2}$ |
ID:(3530, 0)
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Video: Energy Distribution