Utilisateur:


Moment d'inertie

Storyboard

>Modèle

ID:(600, 0)



Moment d'inertie d'une particule hors axe

Équation

>Top, >Modèle


Une application simple du théorème de Steiner est une masse ponctuelle $m$ à une distance $L$ d'un axe. Comme une masse ponctuelle n'a pas de dimensions, elle n'a pas de moment d'inertie par rapport à son centre de masse. Cependant, comme le centre de masse est à une distance de $L$ de l'axe selon le théorème de Steiner,

$ I = I_{CM} + m d ^2$



son moment d'inertie sera

$ I = m L ^2$

$L$
Longueur du pendule
$m$
6282
$m$
Masse ponctuelle
$kg$
6281
$I$
Moment d\'inertie d\'un pendule mathématique
$kg m^2$
9799

.

ID:(9880, 0)



Méthode de calcul du moment d'inertie

Équation

>Top, >Modèle


Le moment d'inertie total $I_t$ d'un objet est calculé en additionnant les moments d'inertie de ses composants qui sont comparables au moment d'inertie d'une particule individuelle,

$ I = m r ^2$



ce qui conduit à un moment d'inertie résultant de

$I_t=\sum_kI_k$

$I_k$
Moment d\'inertie du kème élément
$kg m^2$
6160
$I_t$
Moment d\'inertie total
$kg m^2$
6161

.

ID:(4438, 0)



Barre qui tourne autour d'un axe $\perp$

Image

>Top


Une barre de masse $m$ et de longueur $l$ qui tourne autour de son centre, qui coïncide avec le centre de masse :

ID:(10962, 0)



Moment d'inertie de la barre de longueur $l$ axe $\perp$

Équation

>Top, >Modèle


Le moment d'inertie d'une barre en rotation autour d'un axe perpendiculaire ($\perp$) passant par le centre est obtenu en divisant le corps en petits volumes et en les additionnant :



ce qui aboutit à

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m l ^2$

$l$
Longueur de barre mince
$m$
6151
$m$
Masse corporelle
$kg$
6150
$I_{CM}$
Moment d\'inertie CM d\'une barre mince, axe perpendiculaire
$kg m^2$
5323

.

ID:(4432, 0)



Cylindre qui tourne autour de l'axe $\parallel$

Image

>Top


Considérons une rotation d'un cylindre de masse $m$ et de rayon $r$ autour de l'axe du cylindre, où le centre de masse (CM) se situe à mi-hauteur :

ID:(10964, 0)



Moment d'inertie du cylindre, axe $\parallel$

Équation

>Top, >Modèle


Le moment d'inertie d'un cylindre en rotation autour d'un axe parallèle ($\parallel$) à son axe central est obtenu en segmentant le corps en petits volumes et en les additionnant :



ce qui aboutit à

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r_c ^2$

$m$
Masse corporelle
$kg$
6150
$I_{CM}$
Moment d\'inertie CM d\'un cylindre, axe parallèle à l\'axe du cylindre
$kg m^2$
5324
$r_c$
Rayon du cylindre
$m$
5319

.

ID:(4434, 0)



Cylindre qui tourne autour de l'axe $\perp$

Image

>Top


Dans cette situation, un cylindre avec une masse $m$, un rayon $r$ et une hauteur $h$ tourne autour d'un axe perpendiculaire à son propre axe. Cet axe passe par le milieu de la longueur du cylindre, où se trouve le centre de masse (CM) :

ID:(10965, 0)



Moment d'inertie du cylindre, axe $\perp$

Équation

>Top, >Modèle


Le moment d'inertie d'un cylindre en rotation autour d'un axe perpendiculaire ($\perp$) passant par le centre est obtenu en divisant le corps en petits volumes et en les additionnant :



ce qui aboutit à

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( h ^2+3 r_c ^2)$

$h$
Hauteur du cylindre
$m$
5318
$m$
Masse corporelle
$kg$
6150
$r_c$
Rayon du cylindre
$m$
5319

.

ID:(4435, 0)



Moment d'inertie d'un parallélépipède régulier

Image

>Top


Un parallélépipède rectangle de masse $m$ et de côtés $a$ et $b$, perpendiculaire à l'axe de rotation, tourne autour de son centre de masse, qui se trouve au centre géométrique du corps:

ID:(10973, 0)



Moment d'inertie d'un parallélépipède rectangle

Équation

>Top, >Modèle


Le moment d'inertie d'un parallélépipède en rotation autour d'un axe passant par son centre est obtenu en divisant le corps en petits volumes et en les additionnant :



ce qui aboutit à

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( a ^2+ b ^2)$

$b$
Largeur du bord d\'un parallélépipède droit
$m$
6153
$a$
Longueur d\'arête d\'un parallélépipède rectangle
$m$
6152
$m$
Masse corporelle
$kg$
6150
$I_{CM}$
Moment d\'inertie CM d\'un parallélépipède, axe central de la face
$kg m^2$
5322

.

ID:(4433, 0)



Parallélépipède droit

Image

>Top


Dans le cas d'un parallélépipède rectangle avec une masse $m$ et un côté $a$, le centre de masse se situe au centre géométrique :

ID:(10963, 0)



Sphère

Image

>Top


Une sphère de masse $m$ et de rayon $r$ tourne autour de son centre de masse, qui est situé au centre de celle-ci :

ID:(10490, 0)



Moment d'inertie d'une sphère

Équation

>Top, >Modèle


Le moment d'inertie d'une sphère en rotation autour d'un axe passant par son centre est obtenu en segmentant le corps en petits volumes et en les additionnant :



ce qui donne comme résultat :

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r_e ^2$

$m$
Masse corporelle
$kg$
6150
$I_{CM}$
Moment d\'inertie CM d\'une sphère
$kg m^2$
5326
$r_e$
Rayon de la sphère
$m$
5321

.

ID:(4436, 0)



0
Video

Vidéo: Moment d'inertie