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Kinetische Rotationsenergie
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Die kinetische Rotationsenergie ist eine Funktion der Winkelgeschwindigkeit, die durch die Anwendung eines Drehmoments über eine bestimmte Zeit erreicht wird, während ein bestimmter Winkel durchlaufen wird.
Daher ist die Rotationskinetik proportional zum Trägheitsmoment des Objekts und dem Quadrat der Winkelgeschwindigkeit.
ID:(1417, 0)
Balken, der sich um eine Achse $\perp$ dreht
Bild
Ein Balken mit Masse $m$ und Länge $l$, der um sein Zentrum rotiert, das mit dem Schwerpunkt übereinstimmt:
ID:(10962, 0)
Zylinder, der sich um die Achse $\parallel$ dreht
Bild
Die Drehung eines Zylinders mit Masse $m$ und Radius $r$ um die Achse des Zylinders, wobei sich der Schwerpunkt (CM) in halber Höhe befindet:
ID:(10964, 0)
Zylinder, der sich um die Achse $\perp$ dreht
Bild
In dieser Situation rotiert ein Zylinder mit Masse $m$, Radius $r$ und Höhe $h$ um eine Achse, die senkrecht zu seiner eigenen Achse verläuft. Diese Achse verläuft durch den Mittelpunkt der Länge des Zylinders, wo sich der Schwerpunkt (CM) befindet:
ID:(10965, 0)
Regelmäßiges Parallelepiped-Trägheitsmoment
Bild
Ein rechtwinkliges Quader mit der Masse $m$ und den Seitenlängen $a$ und $b$, das senkrecht zur Rotationsachse steht, dreht sich um seinen Schwerpunkt, der sich im geometrischen Zentrum des Körpers befindet:
ID:(10973, 0)
Gerade parallelepiped
Bild
Im Fall eines rechtwinkligen Quaders mit Masse $m$ und Seitenlänge $a$ befindet sich der Schwerpunkt im geometrischen Zentrum:
ID:(10963, 0)
Modell
Top
Parameter
Variablen
Berechnungen
zu 
, dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Berechnungen
Variable 
Gegeben Berechnen 
Ziel : Gleichung Zu verwenden 
Gleichungen
$ I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r_e ^2$
I_CM = 2 * m * r_e ^ 2 / 5
$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( a ^2+ b ^2)$
I_CM = m * ( a ^ 2 + b ^ 2 ) / 12
$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( h ^2+3 r_c ^2)$
I_CM = m * ( h ^ 2 + 3 * r_c ^ 2 ) / 12
$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{6} m a ^2$
I_CM = m * a ^2/6
$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m l ^2$
I_CM = m * l ^ 2 / 12
$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r_c ^2$
I_CM = m * r_c ^2/2
$ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$
K_r = I * omega ^2/2
ID:(15606, 0)
Trägheitsmoment der Stablänge $l$ Achse $\perp$
Gleichung
Das Trägheitsmoment einer Stange, die sich um eine senkrechte ($\perp$) Achse dreht, die durch das Zentrum verläuft, wird ermittelt, indem der Körper in kleine Volumeneinheiten unterteilt und sie summiert werden:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
was zu folgendem Ergebnis führt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m l ^2$ |
.
ID:(4432, 0)
Zylinderträgheitsmoment, Achse $\parallel$
Gleichung
Das Trägheitsmoment eines Zylinders, der sich um eine zur Hauptachse parallele Achse ($\parallel$) dreht und die durch das Zentrum verläuft, wird ermittelt, indem der Körper in kleine Volumeneinheiten unterteilt und sie summiert werden:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
was zu folgendem Ergebnis führt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r_c ^2$ |
.
ID:(4434, 0)
Zylinderträgheitsmoment, Achse $\perp$
Gleichung
Das Trägheitsmoment eines Zylinders, der sich um eine senkrechte ($\perp$) Achse dreht, die durch das Zentrum verläuft, wird ermittelt, indem der Körper in kleine Volumeneinheiten unterteilt und sie summiert werden:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
was zu folgendem Ergebnis führt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( h ^2+3 r_c ^2)$ |
.
ID:(4435, 0)
Momento de inercia de cubo recto
Gleichung
El momento de inercia de un cubo que rota en torno a un eje que pasa por el centro se obtiene segmentando el cuerpo en pequeños volúmenes sumando:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
resultando
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{6} m a ^2$ |
ID:(10972, 0)
Trägheitsmoment eines Parallelepipeds
Gleichung
Das Trägheitsmoment eines Quaders, der sich um eine Achse dreht, die durch sein Zentrum verläuft, wird ermittelt, indem der Körper in kleine Volumeneinheiten unterteilt und sie summiert werden:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
was zu folgendem Ergebnis führt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( a ^2+ b ^2)$ |
.
ID:(4433, 0)
Trägheitsmoment einer Kugel
Gleichung
Das Trägheitsmoment einer Kugel, die sich um eine Achse dreht, die durch ihr Zentrum verläuft, wird durch die Segmentierung des Körpers in kleine Volumeneinheiten und deren Addition gewonnen:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
was zu folgendem Ergebnis führt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r_e ^2$ |
.
ID:(4436, 0)
Kinetische Energie der Rotation
Gleichung
Im untersuchten Fall der Translation wird die Definition der Energie
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
auf das zweite Newtonsche Gesetz angewendet
| $ T = I \alpha $ |
und es ergibt sich der Ausdruck
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
Die Energie, die erforderlich ist, um ein Objekt von der Winkelgeschwindigkeit $\omega_1$ auf die Winkelgeschwindigkeit $\omega_2$ zu ändern, kann mithilfe der Definition
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
berechnet werden. Unter Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes kann diese Gleichung umgeschrieben werden als
$\Delta W=I \alpha \Delta\theta=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta$
Durch Verwendung der Definition der Winkelgeschwindigkeit
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
erhalten wir
$\Delta W=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta=I \omega \Delta\omega$
Die Differenz der Winkelgeschwindigkeiten ist
$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$
Andererseits kann die Winkelgeschwindigkeit selbst durch die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit approximiert werden
$\omega=\displaystyle\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$
Unter Verwendung beider Ausdrücke ergibt sich die Gleichung
$\Delta W=I \omega \Delta \omega=I(\omega_2-\omega_1)\displaystyle\frac{(\omega_1+\omega_2)}{2}=\displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2-\omega_1^2)$
Damit ändert sich die Energie gemäß
$\Delta W=\displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2-\displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Wir können dies verwenden, um die kinetische Energie zu definieren
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
ID:(3255, 0)