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Forma de generar las ecuaciones
Descripción 
El primer paso para generar las ecuaciones de un modelo es identificar las ecuaciones que describen la hipótesis, que constituyen la base fundamental del modelo. Estas ecuaciones deben satisfacer los principios fundamentales previamente aceptados para garantizar la coherencia y evitar inconsistencias. Una vez formuladas las ecuaciones principales, es necesario incluir todas las demás ecuaciones que se derivan de los principios fundamentales, con el fin de completar y validar el modelo que describe el sistema físico en estudio.
En resumen, el proceso debe seguir los siguientes pasos:
1. Considerar el fenómeno de la hipótesis: Analizar el fenómeno específico que se desea modelar y entender sus características.
2. Generar las ecuaciones que reflejan la hipótesis: Formular matemáticamente las relaciones postuladas en la hipótesis para representar el comportamiento del sistema.
3. Verificar la coherencia con los principios fundamentales: Asegurarse de que las ecuaciones formuladas sean consistentes con los principios físicos aplicables, como las leyes de conservación o los principios de simetría.
4. Incluir todas las ecuaciones derivadas de los principios fundamentales: Incorporar ecuaciones adicionales que reflejen el cumplimiento de las leyes físicas, lo que permite un modelo completo y sólido.
Este enfoque garantiza que el modelo esté bien fundamentado y sea capaz de representar de forma precisa y verificable el comportamiento del sistema estudiado.
ID:(15933, 0)
Definición de la velocidad
Descripción
La definición de la velocidad es fundamental para modelar un sistema que se desplaza de forma uniforme y rectilínea. Este tipo de movimiento se asocia a la ausencia de interacciones con el medio o con otros objetos, y se deriva directamente del principio de inercia. Por lo tanto, un objeto en estas condiciones se moverá con velocidad constante respecto al sistema de referencia desde el cual se observa.
Desde la antigüedad, la idea de velocidad ha sido estudiada, pero fue Galileo Galilei quien la definió de forma cuantitativa. La velocidad se expresa en función del camino recorrido $\Delta s$ y el tiempo transcurrido $\Delta t$ mediante la siguiente relación:
$v \equiv \displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$
Para que esta ecuación sea válida en cualquier contexto, es necesario que $\Delta s$ y $\Delta t$ sean invariantes espaciales y temporales. Esto significa que los principios de invariancia espacial e invariancia temporal deben cumplirse, lo que implica que tanto el camino recorrido como el tiempo transcurrido deben ser independientes del sistema de referencia desde el cual se realiza la observación y la descripción del movimiento. Esta independencia garantiza que la definición de velocidad sea coherente y aplicable universalmente.
ID:(15930, 0)
Invarianza espacial
Descripción
El principio de invarianza espacial se aborda introduciendo el concepto de camino recorrido $\Delta s$, que se calcula como la diferencia entre la posición final $s$ y la posición inicial $s_0$:
$\Delta s \equiv s - s_0$
La clave es que, aunque tanto la posición como la posición inicial son parámetros dependientes del sistema de referencia utilizado, la diferencia entre ellas es independiente de dicho sistema. Esto se demuestra al desplazar ambas posiciones por un mismo factor $d$:
$s \rightarrow s + d$
$s_0 \rightarrow s_0 + d$
De esta forma, la nueva diferencia queda:
$\Delta s' = (s + d) - (s_0 + d) = s - s_0 = \Delta s$
Por lo tanto, el camino recorrido $\Delta s$ es invariante bajo traslaciones espaciales, lo que significa que se puede desplazar todo el sistema por un factor $d$ y el resultado seguirá siendo el mismo. Esta propiedad confirma que $\Delta s$ posee simetría espacial, siendo independiente del sistema de referencia en el que se realice la observación.
ID:(15928, 0)
Invarianza temporal
Descripción
El principio de invarianza temporal se aborda introduciendo el concepto de tiempo transcurrido $\Delta t$, que se calcula como la diferencia entre el tiempo final $t$ y el tiempo inicial $t_0$:
$\Delta t \equiv t - t_0$
La clave radica en que, aunque tanto el tiempo $t$ como el tiempo inicial $t_0$ dependen del sistema de referencia utilizado, la diferencia entre ellos es independiente de dicho sistema. Esto se puede demostrar al desplazar ambos tiempos por un mismo factor $\tau$:
$t \rightarrow t + \tau$
$t_0 \rightarrow t_0 + \tau$
La nueva diferencia resulta en:
$\Delta t' = (t + \tau) - (t_0 + \tau) = t - t_0 = \Delta t$
Por lo tanto, el tiempo transcurrido $\Delta t$ es invariante bajo traslaciones temporales, lo que significa que al desplazar todo el sistema en el tiempo por un factor $\tau$, el resultado permanece inalterado. Esta propiedad confirma que $\Delta t$ posee simetría temporal, siendo independiente del sistema de referencia desde el cual se realice la observación.
ID:(15929, 0)
Ecuación de movimiento
Descripción
El modelo del movimiento uniforme y rectilíneo se basa en tres ecuaciones fundamentales previamente definidas. Estas son:
La definición de la velocidad:
$v \equiv \displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$
La definición del camino recorrido:
$\Delta s \equiv s - s_0$
La definición del tiempo transcurrido:
$\Delta t \equiv t - t_0$
Estas ecuaciones describen completamente el comportamiento del sistema y respetan los tres principios fundamentales requeridos:
• Principio de inercia
• Invariancia espacial
• Invariancia temporal
Además, se puede derivar una cuarta ecuación que describe cómo el sistema evoluciona, indicando cómo varía la posición $s$ con respecto al tiempo $t$. Esta ecuación se conoce como la ecuación de movimiento.
Para obtenerla, se sustituyen el camino recorrido $\Delta s$ y el tiempo transcurrido $\Delta t$ en la ecuación de la velocidad:
$v \equiv \displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t} = \displaystyle\frac{s - s_0}{t - t_0}$
Despejando la posición $s$, se obtiene:
$s = s_0 + v (t - t_0)$
Esta ecuación representa una línea recta donde la posición $s$ (ordenada) varía en función del tiempo $t$ (abscisa), con la velocidad $v$ como la pendiente de la recta.
ID:(15931, 0)
Representación del modelo
Descripción
La representación de un modelo comienza documentando la descripción de la situación, la hipótesis que la explica y el conjunto de condiciones necesarias para que se cumpla. A continuación, se enumeran los principios fundamentales que se aplican a la hipótesis y otros que deben ser válidos en la situación descrita. Finalmente, se listan las variables necesarias para modelar la situación y las ecuaciones que las emplean, de acuerdo con los principios fundamentales.
Ejemplo:
• Movimiento Uniforme y Rectilíneo
Descripción:
• Un objeto en movimiento uniforme y rectilíneo.
Hipótesis:
• El objeto se desplaza a velocidad constante a lo largo de una línea recta debido al principio de inercia.
Condiciones:
• No existen fuerzas externas actuando sobre el objeto.
• No hay factores externos que afecten el movimiento del objeto.
Principios Fundamentales
Para la hipótesis descrita, se aplica el siguiente principio fundamental:
• Principio de inercia: Garantiza que un objeto continúa en movimiento rectilíneo uniforme a velocidad constante en ausencia de fuerzas externas.
Las condiciones establecidas implican que se cumplen también:
• Invariancia espacial: Las leyes que describen el movimiento son independientes de la posición en el espacio.
• Invariancia temporal: Las leyes se mantienen constantes con el tiempo.
Variables y Observables
Las siguientes variables son definidas con sus símbolos, unidades e importancia de ser observables:
Observables directos:
• $s$: posición [m]
• $s_0$: posición inicial [m]
• $t$: tiempo [s]
• $t_0$: tiempo inicial [s]
Variables preferiblemente calculadas:
• $\Delta s$: distancia recorrida [m]
• $\Delta t$: tiempo transcurrido [s]
• $v$: velocidad constante [m/s]
Preferir el cálculo de ciertas variables ayuda a evitar contradicciones en un modelo sobredeterminado, es decir, un modelo con más datos que ecuaciones disponibles.
Ecuaciones y Principios Fundamentales Asociados
Las ecuaciones derivadas de la hipótesis y los principios fundamentales son las siguientes:
$v \equiv \displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}$
• Asociada al principio de inercia.
$\Delta s = s - s_0$
• Refleja la invariancia espacial.
$\Delta t = t - t_0$
• Refleja la invariancia temporal.
$s = s_0 + v (t - t_0)$
• Relacionada con el principio de inercia,
• invariancia espacial e invariancia temporal.
Representación Gráfica del Modelo
Para representar el modelo de manera gráfica, se puede mostrar una red en la que las ecuaciones se encuentran en el centro y las variables, que pueden ser compartidas por varias ecuaciones, se disponen alrededor:
Modelo representado por una red de ecuaciones y variables
ID:(15932, 0)