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A física busca entender como os sistemas funcionam, analisando seus componentes e interações e formulando hipóteses e modelos matemáticos que descrevem seus comportamentos.

Para estabelecer uma hipótese, podem-se utilizar experimentos mentais que ajudam a visualizar o fenômeno, enquanto as equações que compõem o modelo são diretamente derivadas dessas hipóteses de trabalho.

Na aplicação desses modelos, é essencial realizar cálculos de maneira eficiente, por isso propomos um esquema para facilitar esse processo. Esse esquema organiza as equações e variáveis de um modelo em uma rede interconectada. À medida que os cálculos são automatizados, essa rede permite identificar uma estratégia para resolver o problema e, em seguida, utilizá-la para calcular o valor desejado de forma eficiente.

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O objetivo da física é compreender como as coisas funcionam. Para isso, precisamos entender a composição de um sistema físico, como suas diferentes partes interagem e como alcançam o resultado observado. René Descartes representou essas ideias graficamente, como mostrado neste diagrama que explica o funcionamento da visão binocular:

Diagrama do funcionamento da visão binocular e da glândula pineal [1].

Contudo, para ter confiança de que nossa explicação verbal está correta, devemos definir variáveis associadas aos elementos descritos que sejam mensuráveis, desenvolver uma representação matemática da explicação, calcular nossas previsões e verificá-las empiricamente, comparando os valores medidos das variáveis com os valores calculados.

A parte descritiva, que forma nossa hipótese e define nosso modelo da realidade, é essencial para iniciar o processo de modelagem. A estrutura matemática é fundamental para analisar e avaliar se os valores obtidos estão alinhados com os observados, o que permite validar nossa explicação de acordo com o estado atual do conhecimento. Além disso, esses modelos matemáticos tornam-se ferramentas que, no final, possibilitam a aplicação prática do modelo.

[1] "Traité de l'homme" (Tratado do Homem), René Descartes, 1664.

ID:(15904, 0)

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A primeira dificuldade ao desenvolver uma hipótese é estabelecer uma ideia clara de como funciona o sistema físico. Muitas vezes, não se trata de processos mecânicos evidentes em que se descreve um mecanismo; em vez disso, são ideias abstratas difíceis de identificar e formular. Uma das maneiras de encontrar uma hipótese é através dos chamados experimentos mentais, nos quais se define um sistema físico e, usando a lógica, explora-se diferentes cenários válidos para tirar conclusões sobre um comportamento ou uma lei geral.

Um exemplo clássico desse tipo de raciocínio é a conclusão de Galileo Galilei de que todos os corpos caem no campo gravitacional terrestre com a mesma aceleração, contradizendo a crença popular de que objetos mais pesados caem mais rápido do que os mais leves.

Experimento mental de Galileo Galilei [2].

O experimento mental proposto por Galileu [1] consistia em imaginar dois objetos de massas diferentes caindo, com o objeto mais pesado posicionado acima do mais leve. Se o corpo mais pesado realmente caísse mais rápido, ele alcançaria o mais leve e ambos se moveriam juntos. Nesse caso, a velocidade do novo sistema seria intermediária entre as velocidades dos dois objetos originais, mas como a massa combinada seria maior que a do objeto mais pesado, a velocidade deveria aumentar logicamente. Essa contradição só se resolve se ambos os objetos caírem à mesma velocidade, indicando que a queda dos corpos em um campo gravitacional é independente de sua massa.

Esse raciocínio levou Galileu a concluir que a aceleração da gravidade age igualmente sobre todos os objetos, independentemente de sua massa. A famosa história de que Galileu deixou cair objetos da Torre de Pisa para demonstrar isso é provavelmente uma lenda, pois na época não existiam instrumentos suficientemente precisos para medir essas diferenças sutis. Hoje entendemos por que essa ideia parecia contraintuitiva: acreditava-se que objetos mais pesados caíam mais rápido porque objetos mais leves são mais afetados pela resistência do ar, o que tende a desacelerá-los. Mais tarde, Newton mostrou que, embora a força gravitacional dependa da massa, a inércia também depende, compensando-se mutuamente e eliminando o efeito da massa na aceleração de queda.

Outro físico que utilizou intensamente experimentos mentais foi Albert Einstein, que desenvolveu grande parte das teorias da relatividade especial e geral com base em inúmeros experimentos mentais. Assim como Galileu, Einstein não dispunha, no início do século XX, de instrumentos para medir intervalos de tempo extremamente curtos, por isso muitas das hipóteses que embasaram sua teoria só foram confirmadas empiricamente anos depois de serem formuladas.

[1] "Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze" (Discursos e Demonstrações Matemáticas sobre Duas Novas Ciências), Galileo Galilei, 1638.

[2] MikeRun, CC BY-SA 4.0 , via Wikimedia Commons

ID:(15905, 0)

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Em geral, uma hipótese é uma afirmação que pode ser associada de maneira relativamente direta a uma expressão matemática. Em alguns casos, essa associação é suficiente para desenvolver o modelo e explorar suas implicações. Em outros casos, as ferramentas matemáticas existentes podem ser limitadas, sendo necessário desenvolver novos métodos para sustentar os cálculos exigidos pelo modelo.

No exemplo do descobrimento de Galileo Galilei, que mostrou que todos os corpos caem com a mesma aceleração, independente da massa, ele introduziu o conceito de aceleração $a$, que nesse caso é constante. A constante que hoje chamamos de $g$, estimada em $9,81m/s^2$, foi medida por primeira vez por Galileu, levando à equação fundamental:

$a = g$

Embora essa expressão possa parecer simples, ela foi crucial para começar a entender o comportamento dos corpos sob a força gravitacional da Terra.

Galileu não tinha acesso às ferramentas do cálculo diferencial, que hoje utilizamos para analisar essa relação, onde a aceleração é definida como a derivada da velocidade $v$ em relação ao tempo $t$:

$a = \displaystyle\frac{dv}{dt}$

Isso nos permite deduzir que a velocidade aumenta linearmente com o tempo, representada pela equação:

$v = v_0 + gt$

onde $v_0$ é a velocidade inicial, assumindo que o tempo inicial é zero. Da mesma forma, podemos determinar a posição $s$ em função do tempo, dado que a velocidade é a derivada temporal da posição:

$v = \displaystyle\frac{ds}{dt}$

Isso leva ao resultado de que, com uma posição inicial $s_0$, a posição ao longo do tempo segue uma trajetória parabólica:

$s = s_0 + v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}gt^2$

Galileu não dispunha dessas ferramentas, pois Newton e Leibniz, que desenvolveram o cálculo diferencial, nasceram logo após sua morte. No entanto, Galileu conseguiu chegar a conclusões semelhantes usando a matemática de sua época, que se baseava principalmente na geometria.

ID:(15906, 0)

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Ninguém espera de nós que façamos grandes descobertas ou que desenvolvamos novas teorias matemáticas. O usuário típico da física geralmente estuda hipóteses e modelos bem estabelecidos ao longo dos anos e os aplica em seus próprios cálculos. No entanto, é aí que começam os verdadeiros desafios. Compreender uma hipótese e seu modelo é, muitas vezes, viável, pois eles se baseiam em conceitos e lógica. Às vezes, essas ideias podem ser difíceis de aceitar, pois contrariam nossa intuição, mas com o tempo, consegue-se alcançar uma compreensão sólida e sentir-se preparado para aplicá-las.

Para muitos, o verdadeiro desafio começa quando precisam lidar com a matemática, que pode parecer uma selva impenetrável. No primeiro contato, enfrentam uma série de definições e convenções que geralmente parecem abstratas e distantes da experiência cotidiana. À medida que avançam, introduzem-se variáveis que, com alguma prática, começam a se conectar com medições concretas. No entanto, essas variáveis logo se entrelaçam em um sistema complexo de equações, uma rede difícil de desvendar para iniciantes.

Embora os princípios fundamentais proporcionem estrutura e uma sensação de ordem, ao tentar aplicá-los a problemas específicos, o iniciante muitas vezes se sente sobrecarregado. Mesmo quando parece que encontrou uma equação que poderia resolver o problema, logo descobre que essa equação não é totalmente aplicável à sua situação.

Por isso, é essencial não ver as equações apenas no contexto geral da teoria, mas como um conjunto de ferramentas interconectadas que operam em conjunto. Essa abordagem ajuda a evitar que nos percamos na teoria, permitindo que nos concentremos em entender o modelo e as ferramentas associadas. Ainda assim, permanece o desafio inerente da matemática, que deve ser abordado de outra perspectiva para ser gerido de forma eficaz.

ID:(15897, 0)

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Para superar a barreira inicial que a matemática pode representar, propomos uma abordagem alternativa que transforma a matemática em uma ferramenta acessível e funcional, em vez de um obstáculo. Aproveitamos o fato de que, hoje em dia, ferramentas tecnológicas avançadas permitem realizar cálculos algébricos e resolver equações diferenciais. Assim, focamos em extrair os conceitos físicos e as variáveis associadas, priorizando o entendimento dos princípios fundamentais em vez de nos aprofundarmos no processo matemático completo.

Vejamos, como exemplo, a equação da energia $E$ de uma partícula de massa $m$ que se desloca a uma altura $h$ com velocidade $v$ no campo gravitacional terrestre, onde $g$ é a aceleração da gravidade:

$E = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + mgh$

Essa equação pode ser representada por um nó (neste caso, azul-claro) conectado a nós (brancos) para cada uma de suas variáveis: $E$, $m$, $v$, $h$ e $g$:

Representação de uma equação como elemento de uma rede de equações e variáveis

Cada equação permite calcular uma variável por vez. Por exemplo, se quisermos isolar a velocidade $v$, podemos destacá-la no nó com a cor laranja:

Identificação de uma variável (v) a ser calculada (laranja)

Para realizar esse cálculo, precisamos conhecer os valores de todas as outras variáveis na equação, as quais destacamos em verde-claro para indicar que seus valores são conhecidos:

Identificação de uma variável necessária para o cálculo (verde)

Nesta etapa, reescrevemos a equação para resolver $v$ e mudamos a cor do nó da equação de azul-claro para azul, indicando que foi usada para o cálculo.

Neste exemplo, assumimos que todas as variáveis conhecidas (em verde) estão disponíveis. No entanto, em um modelo que inclua múltiplas equações interconectadas, é possível que uma ou mais dessas variáveis necessárias venham de cálculos anteriores realizados com outra equação.

Dessa forma, podemos representar cada modelo como uma rede de equações inter-relacionadas por meio de suas variáveis, o que nos permite desenvolver estratégias de cálculo e focar na compreensão do significado das variáveis, como são medidas e como são calculadas. Além disso, garantimos o entendimento das hipóteses e fundamentos conceituais do modelo, reservando as equações para cálculos específicos e para a análise de comportamento onde necessário.

ID:(15898, 0)

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Ao representar modelos como redes de equações e suas variáveis, o trabalho matemático é significativamente simplificado, pois os cálculos podem ser realizados de forma automática. Esse enfoque nos permite concentrar na compreensão das variáveis, seu significado físico e seus intervalos de validade.

O uso das equações se limita a três situações possíveis:

• quando realizamos cálculos, executados por sistemas de apoio;
• quando as equações restringem o intervalo de validade de uma variável, como em casos de singularidades ou inexistência de soluções;
• quando é necessário modificar o modelo e, portanto, as equações de suporte.

No uso cotidiano, um modelo é concebido como uma rede de equações interconectadas por meio de suas variáveis. Por exemplo, considere-se um modelo simples com duas equações interligadas por uma variável (neste caso, $z$):

Modelo com duas equações interconectadas

Se quisermos calcular a variável $x_0$, vemos que isso pode ser feito usando a equação $eq_1$, desde que as variáveis $x_1$ e $z$ sejam conhecidas. Caso $z$ seja desconhecido, precisaríamos conhecer as variáveis $y_0$, $y_1$, $y_2$ e $y_3$:

Variáveis necessárias para calcular $x_0$

Dessa forma, podemos primeiro calcular $z$ usando a equação $eq_2$ e, em seguida, usar $eq_1$ para obter o valor de $x_0$:

Cálculo de $x_0$ usando ambas as equações

ID:(15899, 0)