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La physique cherche à comprendre le fonctionnement des systèmes en analysant leurs composants et interactions, et en formulant des hypothèses et des modèles mathématiques qui décrivent leurs comportements.

Pour établir une hypothèse, on peut utiliser des expériences de pensée qui aident à visualiser le phénomène, tandis que les équations composant le modèle sont directement dérivées de ces hypothèses de travail.

Lors de lapplication de ces modèles, il est essentiel deffectuer les calculs de manière efficace ; cest pourquoi nous proposons un schéma pour faciliter ce processus. Ce schéma organise les équations et les variables dun modèle dans un réseau interconnecté. À mesure que les calculs sont automatisés, ce réseau permet didentifier une stratégie pour résoudre le problème, puis de lutiliser pour calculer la valeur cible de manière efficiente.

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L'objectif de la physique est de comprendre comment fonctionnent les choses. Pour ce faire, nous devons comprendre la composition d'un système physique, comment ses différentes parties interagissent et comment elles atteignent le résultat observé. René Descartes représentait ces idées graphiquement, comme on peut le voir dans ce diagramme expliquant le fonctionnement de la vision binoculaire :

Diagramme du fonctionnement de la vision binoculaire et de la glande pinéale [1].

Cependant, pour être confiants dans l'exactitude de notre explication verbale, nous devons définir des variables associées aux éléments décrits, qui soient mesurables, et développer une représentation mathématique de cette explication. Cela permet de calculer nos prédictions et de les vérifier empiriquement en comparant les valeurs mesurées des variables aux valeurs calculées.

La partie descriptive, qui forme notre hypothèse et définit notre modèle de la réalité, est essentielle pour initier le processus de modélisation. La structure mathématique est fondamentale pour analyser et évaluer si les valeurs obtenues coïncident avec celles observées, ce qui permet de valider notre explication selon l'état actuel des connaissances. De plus, ces modèles mathématiques deviennent des outils qui permettent finalement l'application pratique du modèle.

[1] "Traité de l'homme" (Traité de lhomme), René Descartes, 1664.

ID:(15904, 0)

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La première difficulté pour développer une hypothèse est détablir une idée claire de la manière dont fonctionne le système physique. Souvent, il ne sagit pas de processus mécaniques évidents où lon décrit simplement un mécanisme ; ce sont souvent des idées abstraites difficiles à identifier et à formuler. Une des façons de trouver une hypothèse est par le biais des expériences de pensée, dans lesquelles un système physique est défini et, par la logique, différentes situations valides sont explorées pour en tirer des conclusions sur un comportement ou une loi générale.

Un exemple classique de ce type de raisonnement est la conclusion de Galileo Galilei selon laquelle tous les corps tombent dans le champ gravitationnel terrestre avec la même accélération, contredisant la croyance populaire selon laquelle les objets plus lourds tombent plus vite que les plus légers.

Expérience de pensée de Galileo Galilei [2].

L'expérience de pensée proposée par Galilée [1] consistait à imaginer deux objets de masses différentes tombant, avec lobjet le plus lourd positionné au-dessus du plus léger. Si lobjet le plus lourd tombait réellement plus vite, il rattraperait le plus léger et ils se déplaceraient alors ensemble. Dans ce cas, la vitesse du nouveau système devrait se situer entre les deux vitesses d'origine, mais comme la masse combinée serait plus importante que celle de lobjet le plus lourd seul, la vitesse devrait logiquement augmenter. Cette contradiction ne peut être résolue que si les deux objets tombent à la même vitesse, ce qui indique que la chute des corps dans un champ gravitationnel est indépendante de leur masse.

Ce raisonnement a conduit Galilée à conclure que laccélération de la gravité agit de la même manière sur tous les objets, quelle que soit leur masse. La fameuse histoire selon laquelle Galilée aurait laissé tomber des objets de la tour de Pise pour le démontrer est probablement une légende, car il n'existait pas à l'époque d'instruments suffisamment précis pour mesurer de telles différences subtiles. Aujourdhui, nous comprenons pourquoi cette idée semblait contre-intuitive : on pensait que les objets plus lourds tombaient plus vite car les objets plus légers sont davantage ralentis par la résistance de lair. Plus tard, Newton a démontré que, bien que la force gravitationnelle dépende de la masse, il en va de même pour l'inertie, compensant ainsi l'effet de la masse sur l'accélération de la chute.

Un autre physicien qui a intensément utilisé les expériences de pensée est Albert Einstein, qui a développé une grande partie des théories de la relativité restreinte et générale sur la base de nombreuses expériences de pensée. Comme Galilée, Einstein ne disposait pas, au début du XXe siècle, d'instruments capables de mesurer des intervalles de temps extrêmement courts, de sorte que de nombreuses hypothèses sur lesquelles il sest appuyé n'ont été confirmées empiriquement que des années après la formulation de sa théorie.

[1] "Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze" (Discours et démonstrations mathématiques concernant deux nouvelles sciences), Galileo Galilei, 1638.

[2] MikeRun, CC BY-SA 4.0 , via Wikimedia Commons

ID:(15905, 0)

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En général, une hypothèse est une affirmation qui peut être associée de manière relativement directe à une expression mathématique. Dans certains cas, cette association est suffisante pour développer le modèle et explorer ses implications. Dans dautres cas, les outils mathématiques existants peuvent être limités, nécessitant alors le développement de nouvelles méthodes pour soutenir les calculs exigés par le modèle.

Dans le cas de la découverte de Galileo Galilei, qui montra que tous les corps tombent avec la même accélération, indépendamment de leur masse, il introduisit le concept daccélération $a$, qui dans ce cas est constante. La constante que nous appelons aujourdhui $g$, estimée à $9,81m/s^2$, fut mesurée pour la première fois par Galilée, conduisant à léquation fondamentale :

$a = g$

Bien que cette expression puisse sembler simple, elle fut cruciale pour commencer à comprendre le comportement des corps sous linfluence de la gravité terrestre.

Galilée ne disposait pas des outils du calcul différentiel, que nous utilisons aujourdhui pour analyser cette relation, où laccélération est définie comme la dérivée de la vitesse $v$ par rapport au temps $t$ :

$a = \displaystyle\frac{dv}{dt}$

Cela permet de déduire que la vitesse augmente linéairement avec le temps, représentée par léquation :

$v = v_0 + gt$

où $v_0$ est la vitesse initiale, en supposant que le temps initial est nul. De même, on peut déterminer la position $s$ en fonction du temps, étant donné que la vitesse est la dérivée temporelle de la position :

$v = \displaystyle\frac{ds}{dt}$

Ce qui conduit au résultat que, pour une position initiale $s_0$, la position au cours du temps suit une trajectoire parabolique :

$s = s_0 + v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}gt^2$

Galilée ne disposait pas de ces outils, car Newton et Leibniz, qui développèrent le calcul différentiel, naquirent peu après sa mort. Néanmoins, Galilée parvint à des conclusions similaires en utilisant les mathématiques de son époque, fondées principalement sur la géométrie.

ID:(15906, 0)

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Personne nattend de nous que nous fassions de grandes découvertes ou que nous développions de nouvelles théories mathématiques. Lutilisateur typique de la physique étudie généralement les hypothèses et les modèles bien établis au fil des années et les applique à ses propres calculs. Cependant, cest là que commencent les véritables défis. Comprendre une hypothèse et son modèle est souvent faisable, car ils sont basés sur des concepts et une logique accessibles. Parfois, ces idées peuvent être difficiles à accepter, car elles contredisent notre intuition, mais avec le temps, on parvient à en acquérir une compréhension solide et à se sentir prêt à les appliquer.

Pour beaucoup, le véritable défi commence lorsquil faut sattaquer aux mathématiques, qui peuvent sembler être une jungle impénétrable. Lors du premier contact, on est confronté à une série de définitions et de conventions souvent abstraites et éloignées de lexpérience quotidienne. Au fur et à mesure, des variables sont introduites qui, avec un peu de pratique, commencent à se connecter à des mesures concrètes. Cependant, ces variables sentrelacent rapidement dans un système complexe déquations, une trame difficile à démêler pour les débutants.

Bien que les principes fondamentaux fournissent structure et un sentiment dordre, le novice se sent souvent dépassé lorsquil tente de les appliquer à des problèmes spécifiques. Même lorsquil semble avoir trouvé une équation capable de résoudre le problème, il découvre rapidement que cette équation nest pas entièrement applicable à sa situation.

Cest pourquoi il est essentiel de ne pas voir les équations uniquement dans le contexte général de la théorie, mais comme un ensemble doutils interconnectés qui fonctionnent ensemble. Cette approche aide à éviter de se perdre dans la théorie, permettant de se concentrer sur la compréhension du modèle et des outils associés. Néanmoins, le défi inhérent des mathématiques demeure, et il doit être abordé sous une autre perspective pour être géré efficacement.

ID:(15897, 0)

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Pour surmonter la barrière initiale que les mathématiques peuvent représenter, nous proposons une approche alternative qui transforme les mathématiques en un outil accessible et fonctionnel, plutôt quun obstacle. Nous tirons parti du fait quaujourdhui, les outils technologiques avancés permettent de réaliser des calculs algébriques et de résoudre des équations différentielles. Ainsi, nous nous concentrons sur lextraction des concepts physiques et des variables associées, en priorisant la compréhension des principes fondamentaux, plutôt que de nous plonger dans le processus mathématique complet.

Prenons, par exemple, léquation de lénergie $E$ dune particule de masse $m$ se déplaçant à une hauteur $h$ avec une vitesse $v$ dans le champ gravitationnel terrestre, où $g$ représente laccélération gravitationnelle :

$E = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + mgh$

Cette équation peut être représentée par un nud (dans ce cas, bleu clair) connecté à des nuds (blancs) pour chacune de ses variables : $E$, $m$, $v$, $h$ et $g$ :

Représentation d'une équation comme élément d'un réseau d'équations et de variables

Chaque équation permet de calculer une variable à la fois. Par exemple, si nous voulons isoler la vitesse $v$, nous pouvons la mettre en évidence dans le nud avec une couleur orange :

Identification d'une variable (v) à calculer (orange)

Pour effectuer ce calcul, nous devons connaître les valeurs de toutes les autres variables de léquation, que nous mettrons en évidence en vert clair pour indiquer que leurs valeurs sont connues :

Identification d'une variable nécessaire au calcul (vert)

À cette étape, nous avons réarrangé léquation pour obtenir $v$ et avons changé la couleur du nud de léquation de bleu clair à bleu pour indiquer quelle a été utilisée dans le calcul.

Dans cet exemple, nous supposons que toutes les variables connues (en vert) sont disponibles. Cependant, dans un modèle incluant plusieurs équations interconnectées, il est possible quune ou plusieurs de ces variables nécessaires proviennent de calculs antérieurs réalisés avec une autre équation.

Ainsi, nous pouvons représenter chaque modèle comme un réseau déquations interconnectées par leurs variables, ce qui nous permet de développer des stratégies de calcul et de nous concentrer sur la compréhension de la signification des variables, leur mesure et leur calcul. De plus, nous nous assurons de bien comprendre les hypothèses et les bases conceptuelles du modèle, en réservant les équations pour les calculs spécifiques et lanalyse de comportement lorsque cela est nécessaire.

ID:(15898, 0)

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En représentant les modèles comme des réseaux déquations et de leurs variables, le travail mathématique est considérablement simplifié, car les calculs peuvent être effectués automatiquement. Cette approche nous permet de nous concentrer sur la compréhension des variables, de leur signification physique et de leurs domaines de validité.

Lutilisation des équations se limite à trois situations possibles :

• lorsquon effectue des calculs, réalisés par des systèmes de support ;
• lorsque les équations restreignent le domaine de validité dune variable, comme dans le cas des singularités ou de labsence de solutions ;
• lorsquil est nécessaire de modifier le modèle, et donc les équations de support.

Dans lutilisation courante, un modèle est conçu comme un réseau déquations interconnectées par leurs variables. Par exemple, considérons un modèle simple composé de deux équations interconnectées par une variable (dans ce cas, $z$) :

Modèle de deux équations interconnectées

Si nous voulons calculer la variable $x_0$, nous voyons que cela peut se faire à laide de léquation $eq_1$, à condition que les variables $x_1$ et $z$ soient connues. Si $z$ est inconnu, il serait nécessaire de connaître les variables $y_0$, $y_1$, $y_2$ et $y_3$:

Variables nécessaires pour calculer $x_0$

De cette manière, nous pouvons dabord calculer $z$ avec léquation $eq_2$, puis utiliser $eq_1$ pour obtenir la valeur de $x_0$ :

Calcul de $x_0$ en utilisant les deux équations

ID:(15899, 0)