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La física busca comprender el funcionamiento de los sistemas mediante el análisis de sus componentes e interacciones, formulando hipótesis y modelos matemáticos que describen sus comportamientos.

Para establecer la hipótesis, se puede trabajar con experimentos mentales que ayudan a visualizar el fenómeno, mientras que las ecuaciones que componen el modelo se derivan directamente de estas hipótesis de trabajo.

En la aplicación de los modelos, es fundamental realizar cálculos eficientemente, por lo que proponemos un esquema que facilite este proceso. Este esquema organiza las ecuaciones y variables de un modelo en una red interconectada. A medida que el cálculo se automatiza, esta red permite identificar una estrategia de resolución del problema y luego emplearla para obtener el valor objetivo de forma efectiva.

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El objetivo de la física es comprender cómo funcionan las cosas. Para lograrlo, debemos entender de qué se compone un sistema físico, cómo interactúan sus distintas partes y cómo alcanzan el objetivo observado. René Descartes representaba estas ideas gráficamente, como se muestra en este diagrama que explica el funcionamiento de la visión binocular:

Diagrama del funcionamiento de la visión binocular y la glándula pineal [1].

No obstante, para tener confianza en que nuestra explicación verbal es correcta, debemos definir variables asociadas a los elementos descritos, asegurarnos de que sean medibles y desarrollar una representación matemática de la explicación. Esto permite calcular nuestras predicciones y verificarlas empíricamente, comparando los valores medidos de las variables con los valores calculados.

La parte descriptiva, que conforma nuestra hipótesis y define nuestro modelo de la realidad, es crucial para iniciar el proceso de modelación. La formulación matemática es fundamental para analizar y evaluar si los valores obtenidos coinciden con los observados, lo que nos permite, de acuerdo con el estado actual del conocimiento, validar nuestra explicación. Además, estos modelos matemáticos se convierten en herramientas que, en última instancia, posibilitan el uso práctico del modelo.

[1] "Traité de l'homme" (Tratado del hombre), René Descartes, 1664.

ID:(15904, 0)

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La primera dificultad al desarrollar una hipótesis es establecer una idea clara de cómo funciona el sistema físico. A menudo, no se trata de procesos mecánicos evidentes donde se describe un mecanismo; muchas veces, son ideas abstractas difíciles de formular y reconocer. Una de las formas de encontrar una hipótesis es a través de los llamados experimentos mentales, en los que se define un sistema físico y, mediante lógica, se exploran diferentes situaciones posibles, llegando a conclusiones sobre un comportamiento o ley general.

Un ejemplo clásico de este tipo de razonamiento fue la conclusión de Galileo Galilei de que todos los cuerpos caen en el campo terrestre con la misma aceleración, contradiciendo la creencia popular de que los cuerpos más pesados caen más rápido que los livianos.

Experimento mental de Galileo Galilei [2].

El experimento mental propuesto por Galileo [1] consistía en imaginar dos cuerpos de distinta masa cayendo, uno por encima del otro. Si el cuerpo más pesado realmente cayera más rápido, alcanzaría al cuerpo más liviano y ambos se moverían juntos. En este caso, la velocidad del nuevo sistema debería ser una media entre las velocidades de ambos cuerpos, pero como la masa combinada sería mayor que la del cuerpo más pesado, su velocidad debería aumentar según esa lógica. Esta contradicción solo se resuelve si ambos cuerpos caen a la misma velocidad, lo que implica que la caída de los cuerpos en el campo gravitatorio es independiente de su masa.

Este razonamiento llevó a Galileo a concluir que la aceleración de la gravedad actúa de igual manera sobre todos los cuerpos, independientemente de su masa. La famosa historia de que Galileo dejó caer objetos desde la torre de Pisa para demostrarlo es probablemente una leyenda, pues en su época no se disponía de instrumentos suficientemente precisos para medir diferencias tan sutiles. Hoy entendemos por qué esta idea parecía contraria a la intuición: se percibía que los cuerpos más pesados caían más rápido, ya que los cuerpos más ligeros son frenados en mayor medida por la resistencia del aire. Más tarde, Newton demostró que, aunque la fuerza gravitacional depende de la masa, la inercia también lo hace, por lo que ambos efectos se compensan, anulando el impacto de la masa en la aceleración de caída.

Otro físico que utilizó intensamente los experimentos mentales fue Albert Einstein, quien desarrolló gran parte de las teorías de la relatividad especial y general a partir de numerosos experimentos mentales. Al igual que Galileo, Einstein carecía a principios del siglo XX de instrumentos capaces de medir tiempos extremadamente cortos, por lo que muchas de sus hipótesis se confirmaron empíricamente solo años después de la formulación de sus teorías.

[1] "Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze" (Discursos y demostraciones matemáticas en torno a dos nuevas ciencias), Galileo Galilei, 1638.

[2] MikeRun, CC BY-SA 4.0 , via Wikimedia Commons

ID:(15905, 0)

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Por lo general, la hipótesis es en sí misma una afirmación que se puede relacionar de manera bastante directa con una expresión matemática. En algunos casos, esta asociación es suficiente para desarrollar el modelo y analizar sus implicancias. En otros, las herramientas matemáticas existentes pueden ser limitadas, requiriendo el desarrollo de nuevos métodos para realizar los cálculos necesarios para sustentar el modelo.

En el caso del descubrimiento de Galileo Galilei de que los cuerpos caen con una aceleración independiente de su masa, fue él quien introdujo el concepto de aceleración $a$, que en este caso resulta constante. De hecho, la constante que hoy llamamos $g$, estimada en $9.81 m/s^2$, fue medida por primera vez por Galileo y condujo a la ecuación fundamental:

$a = g$

Aunque esta expresión pueda parecer simple, fue crucial para comenzar a entender el comportamiento de los cuerpos bajo la atracción gravitatoria de la Tierra.

Galileo no llegó a conocer las herramientas del cálculo diferencial, que hoy aplicamos para analizar la relación anterior, en la cual la aceleración se define como la derivada de la velocidad $v$ respecto al tiempo $t$:

$a = \displaystyle\frac{dv}{dt}$

Esto permite deducir que la velocidad aumenta de forma lineal con el tiempo, expresada por una ecuación de la forma:

$v = v_0 + gt$

donde $v_0$ es la velocidad inicial, asumiendo que el tiempo inicial es cero. De igual manera, podemos determinar la posición $s$ en función del tiempo, dado que la velocidad es la derivada temporal de la posición:

$v = \displaystyle\frac{ds}{dt}$

lo cual lleva a que, con una posición inicial $s_0$, la posición en el tiempo esté descrita por una parábola:

$s = s_0 + v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}gt^2$

Galileo no disponía de estas herramientas, ya que Newton y Leibniz, quienes crearon el cálculo diferencial, nacieron poco después de su muerte. Sin embargo, Galileo logró alcanzar conclusiones similares utilizando la matemática de su tiempo, que se basaba principalmente en la geometría.

ID:(15906, 0)

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Nadie espera de nosotros que hagamos grandes descubrimientos ni que desarrollemos nueva matemática. El usuario típico de la física generalmente estudia hipótesis y modelos bien establecidos a lo largo de los años y los aplica a sus propios cálculos. Sin embargo, es aquí donde comienzan los verdaderos desafíos. Comprender una hipótesis y su modelo suele ser manejable, ya que está arraigado en conceptos y lógica. A veces, estas ideas pueden ser difíciles de aceptar porque contradicen nuestra intuición, pero con esfuerzo, uno logra una comprensión sólida y se siente listo para aplicarlas.

Para muchos, el verdadero reto comienza cuando deben enfrentarse a la matemática, que puede sentirse como una jungla impenetrable. En el primer encuentro, se enfrentan a una serie de definiciones y convenciones que a menudo parecen abstractas y alejadas de la experiencia cotidiana. Al avanzar, se introducen variables que, con algo de práctica, empiezan a conectarse con mediciones concretas. Sin embargo, pronto estas variables se entrelazan en un sistema complejo de ecuaciones, una maraña difícil de desenredar para los principiantes.

Aunque los principios fundamentales proporcionan estructura y un sentido de orden, al intentar aplicarlos a problemas específicos, el novato se siente con frecuencia desbordado. Incluso cuando parece haber encontrado una ecuación que podría resolver el problema, rápidamente descubre que esa ecuación no es del todo aplicable a su situación.

Por ello, es esencial no ver las ecuaciones únicamente dentro del contexto general de la teoría, sino como un conjunto de herramientas interconectadas que operan en conjunto. Este enfoque ayuda a evitar perderse en la teoría, permitiendo centrarse en comprender el modelo y sus herramientas asociadas. Aun así, persiste el desafío inherente de la matemática, que debe abordarse desde una perspectiva diferente para manejarse de manera efectiva.

ID:(15897, 0)

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Para superar la barrera inicial que la matemática puede representar, proponemos un enfoque alternativo que transforme las matemáticas en una herramienta accesible y funcional, en lugar de un obstáculo. Aprovechamos el hecho de que hoy en día es posible realizar cálculos algebraicos y resolver ecuaciones diferenciales mediante herramientas tecnológicas avanzadas. Así, nos enfocamos en rescatar los conceptos físicos y las variables asociadas, priorizando la comprensión de los fundamentos que los sustentan en lugar de sumergirnos en el proceso matemático completo.

Consideremos, a modo de ejemplo, la ecuación de la energía $E$ de una partícula de masa $m$ que se desplaza a una altura $h$ con una velocidad $v$ en el campo gravitacional terrestre, con $g$ como la aceleración gravitacional:

$E = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + mgh$

La ecuación puede representarse mediante un nodo (en este caso, celeste) conectado a los nodos (blancos) de sus variables: $E$, $m$, $v$, $h$ y $g$:

Representación de una ecuación como un elemento de una red de ecuaciones y variables

Cada ecuación permite calcular una variable a la vez. Por ejemplo, si deseamos despejar la velocidad $v$, podemos resaltarla en el nodo con un color naranja:

Identificación de una variable (v) a ser calculada (naranja)

Para realizar este cálculo, necesitamos conocer los valores de todas las demás variables en la ecuación, las cuales resaltaremos en verde claro para indicar que sus valores son conocidos:

Identificación de una variable que se requieren para el calculo (verdes)

En esta etapa, hemos despejado la ecuación para obtener $v$ y hemos cambiado el color del nodo de la ecuación de celeste a azul, indicando que se ha utilizado para el cálculo.

En este caso, asumimos que todas las variables conocidas (verdes) están disponibles. Sin embargo, en un modelo que incluya múltiples ecuaciones interconectadas, es posible que una o más de estas variables necesarias provengan de cálculos previos realizados con otra ecuación.

Así, podemos representar cada modelo como una red de ecuaciones interrelacionadas mediante sus variables, lo que nos permite diseñar estrategias de cálculo y enfocarnos en comprender el significado de las variables, cómo se miden y cómo se calculan. Además, nos aseguramos de entender las hipótesis y los fundamentos conceptuales del modelo, relegando las ecuaciones para los cálculos específicos y para el análisis del comportamiento cuando corresponda.

ID:(15898, 0)

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Al representar los modelos como redes de ecuaciones y sus variables, el trabajo matemático se simplifica significativamente, ya que los cálculos pueden realizarse de forma automática. Esto nos permite concentrarnos en la comprensión de las variables, su significado físico y sus rangos de validez.

El uso de las ecuaciones se limita a tres posibles situaciones:

• cuando realizamos cálculos que son ejecutados por los sistemas de soporte;
• cuando las ecuaciones restringen el rango de validez de alguna variable, como en el caso de singularidades o inexistencia de soluciones;
• cuando necesitamos modificar el modelo, y por ende, las ecuaciones de soporte.

En el uso cotidiano, un modelo se concibe como una red de ecuaciones interconectadas a través de sus variables. Por ejemplo, consideremos un modelo simple de dos ecuaciones interconectadas mediante una variable (en este caso, $z$):

Modelo de dos ecuaciones interconectadas

Si deseáramos calcular la variable $x_0$, observamos que podemos hacerlo mediante la ecuación $eq_1$, siempre que las variables $x_1$ y $z$ sean conocidas. En caso de desconocer $z$, deberíamos conocer las variables $y_0$, $y_1$, $y_2$ y $y_3$:

Variables necesarias para calcular la variable $x_0$

De esta forma, podemos calcular $z$ con la ecuación $eq_2$ y, posteriormente, usar $eq_1$ para obtener el valor de $x_0$:

Cálculo de $x_0$ mediante el uso de ambas ecuaciones

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