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Die Physik strebt danach, zu verstehen, wie Systeme funktionieren, indem sie ihre Komponenten und Interaktionen analysiert und Hypothesen sowie mathematische Modelle formuliert, die ihr Verhalten beschreiben.

Um eine Hypothese zu formulieren, können Gedankenexperimente genutzt werden, die helfen, das Phänomen zu visualisieren, während die Gleichungen, die das Modell bilden, direkt aus diesen Arbeitshypothesen abgeleitet werden.

Bei der Anwendung dieser Modelle ist es entscheidend, Berechnungen effizient durchzuführen. Daher schlagen wir ein Schema vor, das diesen Prozess erleichtert. Dieses Schema organisiert die Gleichungen und Variablen eines Modells in einem miteinander verbundenen Netzwerk. Durch die Automatisierung der Berechnungen ermöglicht dieses Netzwerk die Entwicklung einer Strategie zur Problemlösung und deren Nutzung, um den Zielwert effizient zu berechnen.

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ID:(2119, 0)

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Das Ziel der Physik ist es, zu verstehen, wie Dinge funktionieren. Um dies zu erreichen, müssen wir die Bestandteile eines physikalischen Systems verstehen, wie die verschiedenen Teile miteinander interagieren und wie sie das beobachtete Ergebnis hervorrufen. René Descartes stellte diese Ideen grafisch dar, wie in diesem Diagramm zu sehen ist, das die Funktionsweise des binokularen Sehens erklärt:

Diagramm des binokularen Sehens und der Zirbeldrüse [1].

Um jedoch Vertrauen in die Richtigkeit unserer verbalen Erklärung zu haben, müssen wir messbare Variablen definieren, die mit den beschriebenen Elementen verbunden sind. Außerdem müssen wir eine mathematische Darstellung der Erklärung entwickeln, unsere Vorhersagen berechnen und diese empirisch überprüfen, indem wir die gemessenen Werte der Variablen mit den berechneten Werten vergleichen.

Der beschreibende Teil, der unsere Hypothese und unser Modell der Realität bildet, ist entscheidend für den Beginn des Modellierungsprozesses. Das mathematische Gerüst ist unerlässlich, um zu analysieren und zu bewerten, ob die erhaltenen Werte mit den beobachteten übereinstimmen, und ermöglicht es uns so, unsere Erklärung gemäß dem aktuellen Wissensstand zu validieren. Darüber hinaus werden diese mathematischen Modelle zu Werkzeugen, die letztlich die praktische Anwendung des Modells ermöglichen.

[1] "Traité de l'homme" (Der Mensch), René Descartes, 1664.

ID:(15904, 0)

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Die erste Herausforderung bei der Entwicklung einer Hypothese besteht darin, eine klare Vorstellung davon zu gewinnen, wie das physikalische System funktioniert. Oft handelt es sich dabei nicht um offensichtliche mechanische Prozesse, bei denen man einfach einen Mechanismus beschreibt; vielmehr sind es oft abstrakte Ideen, die schwer zu erkennen und zu formulieren sind. Eine Möglichkeit, eine Hypothese zu finden, besteht in Gedankenexperimenten, bei denen ein physikalisches System definiert wird und man durch logisches Denken verschiedene gültige Szenarien erkundet, um so Rückschlüsse auf ein allgemeines Verhalten oder Gesetz zu ziehen.

Ein klassisches Beispiel für diese Art des Denkens ist die Schlussfolgerung von Galileo Galilei, dass alle Objekte im Erdgravitationsfeld mit derselben Beschleunigung fallen, was der damaligen Überzeugung widersprach, dass schwerere Objekte schneller fallen als leichtere.

Gedankenexperiment von Galileo Galilei [2].

Galileis Gedankenexperiment [1] bestand darin, sich vorzustellen, dass zwei Objekte mit unterschiedlicher Masse fallen, wobei das schwerere Objekt über dem leichteren positioniert ist. Würde das schwerere Objekt tatsächlich schneller fallen, würde es das leichtere einholen und die beiden Objekte würden sich dann gemeinsam bewegen. In diesem Fall müsste die Geschwindigkeit des neuen Systems zwischen den beiden ursprünglichen Geschwindigkeiten liegen, aber da die kombinierte Masse größer ist als die des schwereren Objekts allein, sollte sich die Geschwindigkeit eigentlich erhöhen. Dieses Paradoxon lässt sich nur auflösen, wenn beide Objekte mit derselben Geschwindigkeit fallen, was darauf hinweist, dass die Fallgeschwindigkeit von Objekten im Gravitationsfeld unabhängig von ihrer Masse ist.

Dieses logische Argument führte Galileo zu der Schlussfolgerung, dass die Gravitationsbeschleunigung auf alle Objekte unabhängig von ihrer Masse gleich wirkt. Die berühmte Geschichte, dass Galileo Gegenstände vom Schiefen Turm von Pisa fallen ließ, um dies zu demonstrieren, ist wahrscheinlich eine Legende, da in seiner Zeit keine ausreichend präzisen Instrumente zur Messung so subtiler Unterschiede zur Verfügung standen. Heute verstehen wir, warum diese Idee kontraintuitiv schien: Man nahm an, dass schwerere Objekte schneller fallen, weil leichtere Objekte stärker durch den Luftwiderstand abgebremst werden. Später zeigte Newton, dass, obwohl die Gravitationskraft von der Masse abhängt, dies auch für die Trägheit gilt, sodass sich beide Effekte ausgleichen und der Masseeinfluss im freien Fall aufgehoben wird.

Ein weiterer Physiker, der intensiv Gedankenexperimente nutzte, war Albert Einstein, der einen Großteil der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie durch zahlreiche Gedankenexperimente entwickelte. Ähnlich wie Galileo verfügte auch Einstein zu Beginn des 20. Jahrhunderts nicht über Instrumente, die extrem kurze Zeitmessungen ermöglichen konnten, sodass viele der Hypothesen, auf denen er seine Theorie aufbaute, erst Jahre nach der Formulierung empirisch bestätigt wurden.

[1] "Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze" (Mathematische Diskurse und Demonstrationen zu zwei neuen Wissenschaften), Galileo Galilei, 1638.

[2] MikeRun, CC BY-SA 4.0 , via Wikimedia Commons

ID:(15905, 0)

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Eine Hypothese ist in der Regel eine Aussage, die sich relativ direkt mit einer mathematischen Ausdrucksform verknüpfen lässt. In einigen Fällen reicht diese Verknüpfung aus, um das Modell zu entwickeln und seine Implikationen zu untersuchen. In anderen Fällen sind die vorhandenen mathematischen Werkzeuge jedoch begrenzt, sodass neue Methoden erforderlich sind, um die für das Modell notwendigen Berechnungen zu unterstützen.

Im Fall der Entdeckung durch Galileo Galilei, dass alle Objekte unabhängig von ihrer Masse mit der gleichen Beschleunigung fallen, führte er das Konzept der Beschleunigung $a$ ein, die in diesem Fall konstant ist. Die Konstante, die wir heute als $g$ bezeichnen und auf $9,81m/s^2$ schätzen, wurde erstmals von Galileo gemessen und führte zur grundlegenden Gleichung:

$a = g$

Obwohl dieser Ausdruck einfach erscheint, war er entscheidend für das Verständnis des Verhaltens von Objekten unter der Gravitationskraft der Erde.

Galileo verfügte jedoch nicht über die Werkzeuge der Differenzialrechnung, die wir heute verwenden, um diese Beziehung zu analysieren. Dort wird die Beschleunigung als die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit $v$ ausgedrückt:

$a = \displaystyle\frac{dv}{dt}$

Daraus ergibt sich, dass die Geschwindigkeit linear mit der Zeit zunimmt, beschrieben durch die Gleichung:

$v = v_0 + gt$

wobei $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit ist, wobei die Anfangszeit als null angenommen wird. Ebenso lässt sich die Position $s$ als Funktion der Zeit bestimmen, da die Geschwindigkeit die zeitliche Ableitung der Position ist:

$v = \displaystyle\frac{ds}{dt}$

Dies führt zum Ergebnis, dass die Position mit einer Anfangsposition $s_0$ einer parabolischen Bahn folgt:

$s = s_0 + v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}gt^2$

Galileo hatte diese Werkzeuge jedoch nicht zur Verfügung, da Newton und Leibniz, die die Differenzialrechnung entwickelten, erst nach seinem Tod geboren wurden. Dennoch gelang es Galileo, ähnliche Ergebnisse zu erreichen, indem er die Mathematik seiner Zeit nutzte, die sich hauptsächlich auf die Geometrie stützte.

ID:(15906, 0)

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Niemand erwartet von uns, dass wir bahnbrechende Entdeckungen machen oder neue Mathematik entwickeln. Der typische Nutzer der Physik studiert in der Regel die über Jahre hinweg etablierten Hypothesen und Modelle und wendet sie in seinen eigenen Berechnungen an. Doch genau hier beginnen die eigentlichen Herausforderungen. Das Verständnis einer Hypothese und ihres Modells ist oft machbar, da sie auf logischen Konzepten basiert. Manchmal sind diese Ideen schwer zu akzeptieren, da sie unserer Intuition widersprechen, aber mit der Zeit gelingt es, ein solides Verständnis zu erlangen und sich bereit zu fühlen, sie anzuwenden.

Für viele beginnt die wahre Herausforderung jedoch erst, wenn sie sich mit der Mathematik auseinandersetzen müssen, die sich wie ein undurchdringlicher Dschungel anfühlen kann. Beim ersten Kontakt stößt man auf eine Reihe von Definitionen und Konventionen, die oft abstrakt wirken und weit entfernt von alltäglichen Erfahrungen scheinen. Mit der Zeit werden Variablen eingeführt, die sich mit etwas Übung mit konkreten Messungen verbinden lassen. Doch schon bald verflechten sich diese Variablen in einem komplexen System von Gleichungen, ein schwer zu entwirrendes Geflecht für Anfänger.

Obwohl grundlegende Prinzipien Struktur und ein Gefühl von Ordnung bieten, fühlt sich der Anfänger bei der Anwendung auf spezifische Probleme oft überfordert. Selbst wenn er eine Gleichung gefunden zu haben scheint, die das Problem lösen könnte, stellt er schnell fest, dass diese Gleichung auf seine Situation nicht vollständig anwendbar ist.

Deshalb ist es entscheidend, die Gleichungen nicht nur im allgemeinen Kontext der Theorie zu betrachten, sondern als eine Gruppe von Werkzeugen, die in einem System zusammenarbeiten. Dieser Ansatz hilft, sich nicht in der Theorie zu verlieren und sich darauf zu konzentrieren, das Modell und die damit verbundenen Werkzeuge zu verstehen. Dennoch bleibt die natürliche Herausforderung der Mathematik bestehen, die aus einer anderen Perspektive angegangen werden muss, um effektiv bewältigt zu werden.

ID:(15897, 0)

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Um die anfängliche Barriere zu überwinden, die Mathematik darstellen kann, schlagen wir einen alternativen Ansatz vor, der Mathematik in ein zugängliches und funktionales Werkzeug verwandelt, anstatt sie als Hindernis zu sehen. Wir nutzen die Tatsache, dass moderne technologische Werkzeuge es uns heute ermöglichen, algebraische Berechnungen durchzuführen und Differentialgleichungen zu lösen. So konzentrieren wir uns darauf, die physikalischen Konzepte und die zugehörigen Variablen herauszuarbeiten und legen den Schwerpunkt auf das Verständnis der zugrunde liegenden Prinzipien, anstatt uns vollständig im mathematischen Prozess zu verlieren.

Betrachten wir zum Beispiel die Gleichung für die Energie $E$ einer Teilchenmasse $m$, die sich in einer Höhe $h$ mit der Geschwindigkeit $v$ im Gravitationsfeld der Erde bewegt, wobei $g$ die Gravitationsbeschleunigung ist:

$E = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + mgh$

Diese Gleichung kann durch einen Knoten (in diesem Fall hellblau) dargestellt werden, der mit den Knoten (weiß) für seine Variablen $E$, $m$, $v$, $h$ und $g$ verbunden ist:

Darstellung einer Gleichung als Element eines Netzwerks von Gleichungen und Variablen

Jede Gleichung ermöglicht es, eine Variable nach der anderen zu berechnen. Wenn wir beispielsweise die Geschwindigkeit $v$ isolieren möchten, können wir diesen Knoten orange markieren:

Identifikation einer zu berechnenden Variablen (v) (orange)

Um diese Berechnung durchzuführen, benötigen wir die Werte aller anderen Variablen in der Gleichung, die wir in hellgrün markieren, um anzuzeigen, dass ihre Werte bekannt sind:

Identifikation einer Variablen, die für die Berechnung benötigt wird (grün)

In dieser Phase haben wir die Gleichung umgestellt, um $v$ zu berechnen, und die Farbe des Gleichungsknotens von hellblau auf blau geändert, um anzuzeigen, dass sie für die Berechnung verwendet wurde.

In diesem Beispiel nehmen wir an, dass alle bekannten Variablen (grün) verfügbar sind. In einem Modell mit mehreren verknüpften Gleichungen kann es jedoch vorkommen, dass eine oder mehrere dieser benötigten Variablen aus vorherigen Berechnungen mit einer anderen Gleichung stammen.

Auf diese Weise können wir jedes Modell als ein Netzwerk von miteinander verbundenen Gleichungen und Variablen darstellen, was es uns ermöglicht, Berechnungsstrategien zu entwickeln und uns auf das Verständnis der Bedeutung der Variablen, ihrer Messung und Berechnung zu konzentrieren. Außerdem stellen wir sicher, dass wir die Hypothesen und konzeptuellen Grundlagen des Modells verstehen und die Gleichungen für spezifische Berechnungen und Verhaltensanalysen einsetzen, wenn dies erforderlich ist.

ID:(15898, 0)

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Durch die Darstellung von Modellen als Netzwerke von Gleichungen und ihren Variablen wird die mathematische Arbeit erheblich vereinfacht, da Berechnungen automatisch durchgeführt werden können. Dieser Ansatz ermöglicht es uns, uns auf das Verständnis der Variablen, ihrer physikalischen Bedeutung und ihrer Gültigkeitsbereiche zu konzentrieren.

Der Einsatz von Gleichungen beschränkt sich auf drei mögliche Situationen:

• wenn Berechnungen durchgeführt werden, die von unterstützenden Systemen ausgeführt werden;
• wenn die Gleichungen den Gültigkeitsbereich einer Variablen einschränken, wie z. B. bei Singularitäten oder der Nichtexistenz von Lösungen;
• wenn das Modell geändert werden muss und daher die unterstützenden Gleichungen angepasst werden.

Im Alltag wird ein Modell als ein Netzwerk von durch Variablen miteinander verbundenen Gleichungen betrachtet. Nehmen wir zum Beispiel ein einfaches Modell mit zwei Gleichungen, die über eine Variable (in diesem Fall $z$) miteinander verbunden sind:

Modell mit zwei verbundenen Gleichungen

Wenn wir die Variable $x_0$ berechnen möchten, sehen wir, dass dies mit der Gleichung $eq_1$ möglich ist, vorausgesetzt, die Variablen $x_1$ und $z$ sind bekannt. Falls $z$ unbekannt ist, müssten wir die Variablen $y_0$, $y_1$, $y_2$ und $y_3$ kennen:

Erforderliche Variablen zur Berechnung der Variable $x_0$

Auf diese Weise können wir zuerst $z$ mit der Gleichung $eq_2 berechnen und dann $eq_1$ verwenden, um den Wert von $x_0$ zu ermitteln:

Berechnung von $x_0$ mithilfe beider Gleichungen

ID:(15899, 0)