Utilizador:
Mecanismos
Definição 
Por um lado, é importante diferenciar entre o caso mais simples, unidimensional, e aquele de mais de uma dimensão. Para ambos os casos, a derivada de la velocidade ($v$) em relação a o tempo ($t$), que corresponde à inclinação da curva de la velocidade ($v$), é igual a la aceleração instantânea ($a$). Da mesma forma, a derivada de la velocidade (vector) ($\vec{v}$) em relação a o tempo ($t$), que corresponde a la velocidade (vector) ($\vec{v}$).
ID:(15398, 0)
Aceleração instantânea
Imagem
A aceleração é definida como a variação da velocidade por tempo. No entanto, esse conceito se resume a uma aceleração média que existe durante o intervalo de tempo considerado.
A limitação da aceleração média é refletida no fato de que um processo que inclui um processo de aceleração seguido por desaceleração até parar terá uma aceleração média de zero. Assim, em média, não haveria aceleração e, se estiver parado, não se moverá, enquanto na verdade avança tanto na fase de aceleração quanto na de frenagem.
Se desejamos conhecer a aceleração em cada instante, devemos considerar um intervalo de tempo suficientemente pequeno para que durante esse tempo a aceleração possa ser considerada aproximadamente constante. Dessa forma, a aceleração média estimada dessa maneira equivale à aceleração existente no momento considerado.
Portanto, falamos em 'aceleração instantânea' para nos referirmos à aceleração em um determinado momento.
ID:(11352, 0)
Aceleração como derivada
Nota
Se tomarmos o tempo decorrido ($\Delta t$) e observarmos um objeto em movimento com velocidade la velocidade ($v$), e depois observarmos o mesmo objeto em um momento posterior $t+\Delta t$ com velocidade $v(t+\Delta t)$, podemos estimar sua aceleração como a mudança na velocidade durante o tempo decorrido ($\Delta t$):
$a\sim\displaystyle\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}$
À medida que o valor de $\Delta t$ diminui, essa expressão para a aceleração se aproxima da taxa de variação instantânea da velocidade no momento $t$, ou seja, a inclinação da reta tangente à curva de velocidade naquele ponto:
Isso generaliza o conceito de la aceleração instantânea ($a$) para o caso de la aceleração constante ($a_0$), como visto anteriormente, expresso como a derivada de la velocidade ($v$) em relação a o tempo ($t$):
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
ID:(11353, 0)
Caminho percorrido como área sob a curva de velocidade
Citar
Se alguém observa que la velocidade ($v$) é igual a la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) por o tempo decorrido ($\Delta t$), isso indica que o caminho é dado por:
$\Delta s = v\Delta t$
Como o produto $v\Delta t$ representa a área sob a curva de velocidade versus tempo, que também é igual ao caminho percorrido:
Essa área também pode ser calculada com a integral da função correspondente. Portanto, a integral da aceleração entre o tempo inicial ($t_0$) e o tempo ($t$) corresponde à mudança na velocidade entre a velocidade inicial la velocidade inicial ($v_0$) e la velocidade ($v$):
| $ v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a d\tau $ |
ID:(2252, 0)
Curvatura da curva de posição ao longo do tempo
Exercício
La aceleração instantânea ($a$) é igual à derivada de la velocidade ($v$) em relação a o tempo ($t$):
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
E já que la velocidade ($v$) é a derivada de la posição ($s$) em relação a o tempo ($t$):
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
Portanto, la aceleração instantânea ($a$) é a segunda derivada de la posição ($s$) em relação a o tempo ($t$),
| $ a =\displaystyle\frac{ d^2 s }{ d t ^2 }$ |
o que corresponde à curvatura da curva la posição ($s$) em função de o tempo ($t$):
ID:(11354, 0)
Modelo
Equação
No caso de uma dimensão, la aceleração instantânea ($a$) está relacionada com la velocidade ($v$) através de sua derivada em o tempo ($t$), enquanto a integral de la aceleração instantânea ($a$) no intervalo de o tempo ($t$) a o tempo inicial ($t_0$) fornece la velocidade ($v$) a partir de la velocidade inicial ($v_0$). Em um contexto mais geral, em mais de uma dimensão, a função de la velocidade (vector) ($\vec{v}$) pode ser derivada em o tempo ($t$), resultando em la velocidade (vector) ($\vec{v}$).
ID:(15401, 0)
Aceleração instantânea
Storyboard
Variáveis
Cálculos
para 
,
depois, selecione a variável: 
para 
Cálculos
Variáve
Dado
Calcular
Objetivo :
Equação
A ser usado
Equações
Como um vetor pode ser expresso como um conjunto de suas diferentes componentes
$\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$
sua derivada pode ser expressa como a derivada de cada uma de suas componentes
$\displaystyle\frac{d}{dt}\vec{v}=\displaystyle\frac{d}{dt}(v_x,v_y,v_z)=\left(\displaystyle\frac{dv_x}{dt},\displaystyle\frac{dv_y}{dt},\displaystyle\frac{dv_z}{dt}\right)=\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{a}$
em geral, a velocidade instant nea em mais de uma dimens o
Se considerarmos a diferen a em la velocidade ($v$) nos tempos $t+\Delta t$ e $t$:
$\Delta v = v(t+\Delta t)-v(t)$
e tomarmos $\Delta t$ como o tempo decorrido ($\Delta t$), ent o, no limite de tempos infinitesimalmente curtos:
$a=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=\displaystyle\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t} \rightarrow \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{dv}{dt}$
Esta ltima express o corresponde derivada da fun o la velocidade ($v$):
que, por sua vez, a inclina o da representa o gr fica dessa fun o em o tempo ($t$).
Se integrarmos a defini o de la aceleração instantânea ($a$) em o tempo ($t$),
isso significa que, para um intervalo de tempo $dt$, a dist ncia percorrida
$dv = a dt$
Se considerarmos $N$ intervalos $dt_i$ com acelera es $a_i$, a varia o total na velocidade ser
$v - v_0 = \displaystyle\sum_i a_i dt_i$
Se considerarmos a curva de acelera o-tempo, os elementos $a_i dt_i$ correspondem a ret ngulos com altura $a_i$ e largura $dt_i$. A soma, portanto, corresponde rea sob a curva de acelera o-tempo. Portanto, a soma pode ser expressa como uma integral:
Dado que la aceleração instantânea ($a$) a derivada de la velocidade ($v$) em rela o a o tempo ($t$),
e la velocidade ($v$) a derivada de la posição ($s$) em rela o a o tempo ($t$),
temos que
$a=\displaystyle\frac{dv}{dt}=\displaystyle\frac{d}{dt}\displaystyle\frac{ds}{dt}=\displaystyle\frac{d^2s}{dt^2}$
portanto,
Exemplos
Por um lado, importante diferenciar entre o caso mais simples, unidimensional, e aquele de mais de uma dimens o. Para ambos os casos, a derivada de la velocidade ($v$) em rela o a o tempo ($t$), que corresponde inclina o da curva de la velocidade ($v$), igual a la aceleração instantânea ($a$). Da mesma forma, a derivada de la velocidade (vector) ($\vec{v}$) em rela o a o tempo ($t$), que corresponde a la velocidade (vector) ($\vec{v}$).
A acelera o definida como a varia o da velocidade por tempo. No entanto, esse conceito se resume a uma acelera o m dia que existe durante o intervalo de tempo considerado.
A limita o da acelera o m dia refletida no fato de que um processo que inclui um processo de acelera o seguido por desacelera o at parar ter uma acelera o m dia de zero. Assim, em m dia, n o haveria acelera o e, se estiver parado, n o se mover , enquanto na verdade avan a tanto na fase de acelera o quanto na de frenagem.
Se desejamos conhecer a acelera o em cada instante, devemos considerar um intervalo de tempo suficientemente pequeno para que durante esse tempo a acelera o possa ser considerada aproximadamente constante. Dessa forma, a acelera o m dia estimada dessa maneira equivale acelera o existente no momento considerado.
Portanto, falamos em 'acelera o instant nea' para nos referirmos acelera o em um determinado momento.
Se tomarmos o tempo decorrido ($\Delta t$) e observarmos um objeto em movimento com velocidade la velocidade ($v$), e depois observarmos o mesmo objeto em um momento posterior $t+\Delta t$ com velocidade $v(t+\Delta t)$, podemos estimar sua acelera o como a mudan a na velocidade durante o tempo decorrido ($\Delta t$):
$a\sim\displaystyle\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}$
medida que o valor de $\Delta t$ diminui, essa express o para a acelera o se aproxima da taxa de varia o instant nea da velocidade no momento $t$, ou seja, a inclina o da reta tangente curva de velocidade naquele ponto:
Isso generaliza o conceito de la aceleração instantânea ($a$) para o caso de la aceleração constante ($a_0$), como visto anteriormente, expresso como a derivada de la velocidade ($v$) em rela o a o tempo ($t$):
Se algu m observa que la velocidade ($v$) igual a la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) por o tempo decorrido ($\Delta t$), isso indica que o caminho dado por:
$\Delta s = v\Delta t$
Como o produto $v\Delta t$ representa a rea sob a curva de velocidade versus tempo, que tamb m igual ao caminho percorrido:
Essa rea tamb m pode ser calculada com a integral da fun o correspondente. Portanto, a integral da acelera o entre o tempo inicial ($t_0$) e o tempo ($t$) corresponde mudan a na velocidade entre a velocidade inicial la velocidade inicial ($v_0$) e la velocidade ($v$):
La aceleração instantânea ($a$) igual derivada de la velocidade ($v$) em rela o a o tempo ($t$):
E j que la velocidade ($v$) a derivada de la posição ($s$) em rela o a o tempo ($t$):
Portanto, la aceleração instantânea ($a$) a segunda derivada de la posição ($s$) em rela o a o tempo ($t$),
o que corresponde curvatura da curva la posição ($s$) em fun o de o tempo ($t$):
No caso de uma dimens o, la aceleração instantânea ($a$) est relacionada com la velocidade ($v$) atrav s de sua derivada em o tempo ($t$), enquanto a integral de la aceleração instantânea ($a$) no intervalo de o tempo ($t$) a o tempo inicial ($t_0$) fornece la velocidade ($v$) a partir de la velocidade inicial ($v_0$). Em um contexto mais geral, em mais de uma dimens o, a fun o de la velocidade (vector) ($\vec{v}$) pode ser derivada em o tempo ($t$), resultando em la velocidade (vector) ($\vec{v}$).
A vari vel la aceleração média ($\bar{a}$), calculada como a mudan a em la diferença de velocidade ($\Delta v$) dividida pelo intervalo de o tempo decorrido ($\Delta t$) atrav s de
uma aproxima o da acelera o real, que tende a distorcer-se quando a acelera o flutua durante o intervalo de tempo. Portanto, introduz-se o conceito de la aceleração instantânea ($a$) determinado em um intervalo de tempo muito pequeno. Neste caso, estamos nos referindo a um intervalo de tempo infinitesimalmente pequeno, e a varia o da velocidade ao longo do tempo se reduz derivada de la velocidade ($v$) em rela o a o tempo ($t$):
o que corresponde derivada da velocidade.
Se la aceleração instantânea ($a$) corresponde derivada de la velocidade ($v$) em o tempo ($t$),
ent o la velocidade ($v$) igual a la velocidade inicial ($v_0$), e a integra o da acelera o de o tempo inicial ($t_0$) a o tempo ($t$) :
Dado que la aceleração instantânea ($a$) representa a inclina o de la velocidade ($v$) em rela o a o tempo ($t$),
e la velocidade ($v$) , por sua vez, a inclina o de la posição ($s$) em rela o a o tempo ($t$),
podemos expressar la aceleração instantânea ($a$) como a segunda derivada de la posição ($s$) em rela o a o tempo ($t$).
Em geral, a velocidade deve ser entendida como um vetor tridimensional. Ou seja, sua la posição ($s$) precisa ser descrita por um vetor uma posição (vector) ($\vec{s}$), para o qual cada componente la velocidade ($v$) pode ser definida conforme mostrado na seguinte equa o:
Isso permite generalizar la velocidade (vector) ($\vec{v}$) da seguinte forma:
ID:(1433, 0)