Curso: UACh-FSCA237 Mecánica Estadística

   

  Titulo: 1 Probabilidades

      

  Titulo: 1.1 Introducción a las Probabilidades

         

  Narrativa: El método de la Mecánica Estadística


          ¿Qué es Mecánica Estadística?

(ID-description:[email protected]©20180313)

         

  Narrativa: Bases de las Probabilidades


          El problema

(ID-description:[email protected]©20180313)

          Concepto de probabilidad

(ID-description:[email protected]©20180620)

        $p_i=\displaystyle\frac{n_i}{N}$  Probabilidad

(ID-equation:[email protected]©20180620)

          Notación matemática

(ID-description:[email protected]©20180313)

          Un conjunto

(ID-image:[email protected]©20180313)

          Ejemplo caso discreto

(ID-description:[email protected]©20180313)

          Solución caso discreto

(ID-description:[email protected]©20180313)

          Definición valores medidos

(ID-description:[email protected]©20180313)

          Ejemplo caso continuo

(ID-description:[email protected]©20180313)

          Solución caso continuo

(ID-description:[email protected]©20180313)

        $P(A)+P(\bar{A})=1$  El complemento

(ID-equation:[email protected]©20180620)

          Conjunto y su complemento

(ID-image:[email protected]©20180313)

         

  Narrativa: Multiples Eventos


          Caso múltiples eventos

(ID-description:[email protected]©20180313)

          Eventos independientes

(ID-description:[email protected]©20180620)

        $P(A \cap B)=P(A) P(B)$  Probabilidad de eventos independientes

(ID-equation:[email protected]©20180620)

          Eventos mutuamente excluyente

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        $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$  Probabilidades de eventos mutuamente excluyentes

(ID-equation:[email protected]©20180620)

          Conjuntos sin elementos comunes

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          Eventos NO mutuamente excluyentes

(ID-description:[email protected]©20180620)

          Conjuntos con intersección

(ID-image:[email protected]©20180313)

        $A \cap B \equiv \phi$  Representación de eventos NO mutuamente excluyentes

(ID-equation:[email protected]©20180313)

        $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$  Probabilidades de eventos NO mutuamente excluyentes

(ID-equation:[email protected]©20180620)

          Eventos secuenciales

(ID-description:[email protected]©20180620)

        $P(A \mid B)=\displaystyle\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$  Probabilidad condicional

(ID-equation:[email protected]©20180620)

          Deducción de conjunto condicional

(ID-image:[email protected]©20180313)

         

  Narrativa: Ejemplo del Camino Aleatorio (Random Walk)


        $t=n\Delta t$  El problema del random walk

(ID-equation:[email protected]©20180313)

        $x=(n_1-n_2)a$  Modelando el Random Walk

(ID-equation:[email protected]©20180313)

        $p_{n_1n_2}=p^{n_1}q^{n_2}$  Probabilidad de un Desplazamiento

(ID-equation:[email protected]©20180313)

        $N=n_1+n_2$  Total de pasos

(ID-equation:[email protected]©20180313)

        $C_{n_1n_2}=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}$  Caminos posibles

(ID-equation:[email protected]©20180313)

        $W_N(n_1,n_2)=C_{n_1n_2}p_{n_1n_2}$  Probabilidad de dar $n_1$ pasos a la izquierda y $n_2$ a la derecha (1)

(ID-equation:[email protected]©20180313)

        $W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$  Probabilidad de dar $n_1$ pasos a la izquierda y $n_2$ a la derecha (2)

(ID-equation:[email protected]©20180313)

        $p+q=1$  Suma de probabilidades

(ID-equation:[email protected]©20180313)

        $W_N(n)=\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}p^n(1-p)^{N-n}$  Probabilidad total de combinación de pasos

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $W=(p+q)^N$  Normalización de la probabilidad

(ID-equation:[email protected]©20180313)

          Simulador de Random Walk

(ID-html:[email protected]©20180313)

          Ejemplo de probabilidad del Random Walk

(ID-html:[email protected]©20180313)

      

  Titulo: 1.2 Evolución de Sistema Probabilistico

         

  Narrativa: Distribuciones


        $W_N(n)=\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}p^n(1-p)^{N-n}$  Distribución Binomial

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $m=n_1-n_2$  Posición final

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $n_1=\displaystyle\frac{1}{2}(N+m)$  Cambio de variables $n_1$

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $n_2=\displaystyle\frac{1}{2}(N-m)$  Cambio de variables $n_2$

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\lambda=Np$  Desviación estandard de distribución de Poisson

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $P_N(m)=\displaystyle\frac{N!}{[(N+m)/2]![(N-m)/2]!}p^{(N+m)/2}(1-p)^{(N-m)/2}$  Probabilidad de que este en una posición

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}p^n\sim \lambda^n$  Estimación de $N! p^n/(N-n)!$ si $p\sim 0$ y $N\gg n$

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\mu=aNp$  Posición media

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\ln u!\sim\ln\sqrt{2\pi u} + u\ln u - u$  Aproximación de Sterling

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $e^z\sim\left(1+\displaystyle\frac{z}{u}\right)^u$  Definición de la función exponencial

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $e^{-\lambda}\sim (1-p)^{N-n}$  Estimación de $(1-p)^{N-n}$ si $p\sim 0$ y $N\gg n$

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u$  Factorial según la aproximación de Sterling

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $u=N$  Cambio de variable $u=N$

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $N^n\sim\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}$  Aplicación de la aproximación de Sterling

(ID-equation:[email protected]©20180608)

        $P(\lambda)=\displaystyle\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}$  Poisson: Probabilidad para $N$ grandes y $p$ pequeños

(ID-equation:[email protected]©20180320)

          Ejemplo comparación con distribución de Poisson

(ID-description:[email protected]©20180320)

        $N!\sim\sqrt{2\pi N}\left(\displaystyle\frac{N}{e}\right)^N$  Aproximación para $N!$

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n$  Aproximación para $n!$

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $(N-n)!\sim\sqrt{2\pi N}\left(\displaystyle\frac{N}{e}\right)^{N-n}$  Aproximación para $(N-n)!$

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}$  Factor $N!/n!(N-n)!$ para $N\gg 1$, $n\gg 1$ y $N>n$

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}p^n(1-p)^{N-n}$  Binomial para números grandes y probabilidades medias

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $x=(n-Np)a$  Cambio de variables por desplazamiento $x=(n-Np)a$

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\displaystyle\frac{n}{N}=p\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)$  Factor $n/N$ en función del camino $x$

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\displaystyle\frac{N-n}{N}=(1-p)\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)$  Factor $N-n/N$ en función del camino $x$

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $W_N(n)=\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}p^n(1-p)^{N-n}$  Probabilidad total de combinación de pasos

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}p(1-p)}\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)^{-n-1/2}\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)^{-N+n-1/2}$  Distribución binomial en función de la desviación

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $u=\displaystyle\frac{x}{aNp}$  Cambio de variable $u=x/aNp$

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $u=\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}$  Cambio de variable $u=x/aN(1-p)$

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\ln(1+u)= u-\displaystyle\frac{1}{2}u^2+O(u^3)$  Taylor de $\ln(1+u)$

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $1+u\sim e^{u-\frac{1}{2}u^2}$  Reformulación de serie de Taylor de $\ln(1+u)$

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)\sim e^{x/aNp-x^2/2a^2N^2p^2}$  Factor $1+x/aNp$ para $N\gg 1$ y $p\sim 1/2$

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)\sim e^{-x/aN(1-p)-x^2/2a^2N^2(1-p)^2}$  Factor $1-x/aN(1-p)$ para $N\gg 1$ y $p\sim 1/2$

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}p(1-p)}e^{-(x-aNp)^2/2N^2p(1-p)}$  Probabilidad para $N$ grandes y $p$ medianos

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$  Generalización del límite de números grandes

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\sigma^2 = Np(1-p)$  Desviación estandard de distribución Gauss

(ID-equation:[email protected]©20180320)

          Ejemplo comparación con distribución Gausseana

(ID-html:[email protected]©20180320)

         

  Narrativa: Caracterización de la Distribuciones


        $\bar{u}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^MP(u_i)u_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^MP(u_i)}$  Valor medio de variables

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\overline{cf(u)}=c\overline{f(u)}$  Valor medio de funciones multiplicados por constantes

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\overline{f(u)}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^MP(u_i)f(u_i)}{\displaystyle\sum_{i=1}^MP(u_i)}$  Valor medio de funciones

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\overline{(\Delta u)^2}=\displaystyle\sum_{i=1}^M P(u_i)(u_i-\bar{u})^2$  Valor medio de la desviación estándar

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\overline{f(u)+g(u)}=\overline{f(u)}+\overline{g(u)}$  Valor medio de suma de funciones

(ID-equation:[email protected]©20180320)

   

  Titulo: 2 El Sistema Físico

      

  Titulo: 2.1 Descripción del Sistema Físico

         

  Narrativa: Ensamble del Sistema


          Estado del Sistema

(ID-description:[email protected]©20180320)

          Trabajo con múltiples Copias del Estado del Sistema

(ID-description:[email protected]©20180320)

          Postulado Básico

(ID-description:[email protected]©20180320)

          Ensamble Estadístico

(ID-description:[email protected]©20180320)

          Calculo de Probabilidades

(ID-description:[email protected]©20180320)

          Estados a que puede acceder el Sistema

(ID-description:[email protected]©20180320)

        $\bar{y}=\displaystyle\frac{\sum_k\Omega(E,y_k)y_k}{\Omega(E)}$  Valor esperado

(ID-equation:[email protected]©20180320)

         

  Narrativa: Contando Estados


          Discretización del Espacio de Fase

(ID-description:[email protected]©20180320)

          Caso Mecánica Clásica

(ID-description:[email protected]©20180320)

          Caso Mecánica Cuántica

(ID-description:[email protected]©20180320)

          Calculo del Número de Estados

(ID-description:[email protected]©20180320)

          Caso de un Gas de Partículas Libres

(ID-description:[email protected]©20180320)

        $\Omega(E)=\left(B\displaystyle\frac{V}{\Delta q^3}\right)^N\left(\displaystyle\frac{2mE}{\Delta p^2}\right)^{3N/2}$  Número de Estados Particulas Libres

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\Omega(E)=\left(B\left(\displaystyle\frac{2m}{h^2}\right)^{3/2}V E^{3/2}\right)^N$  Número de estados partículas libres con celda

(ID-equation:[email protected]©20180320)

         

  Narrativa: Ejemplo del Oscilador Armónico


        $E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+\displaystyle\frac{1}{2}kq^2$  Energía de un Resorte en el Espacio de Fase

(ID-equation:[email protected]©20180320)

      

  Titulo: 2.2 Temperatura y Entropía

         

  Narrativa: Condición de Equilibrio y Temperatura


        $P(E)=C\Omega(E)\Omega(E_0-E)$  Dos Sistemas en Contacto

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}-\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega'}{\partial E'}=0$  Condición de Equilibrio

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\beta(E)\equiv\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}$  Función Beta

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\beta(E)=\beta(E')$  Condición de Equilibrio en Función de Beta

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $kT\equiv\displaystyle\frac{1}{\beta}$  Concepto de Temperatura

(ID-equation:[email protected]©20170613)

        $T=T'$  Concepto de Equilibrio y Temperatura

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\displaystyle\frac{1}{T}=\displaystyle\frac{\partial S}{\partial E}$  Relación Termodinámica

(ID-equation:[email protected]©20180320)

         

  Narrativa: Evolución y Entropía


        $S\equiv k\,\ln\Omega$  Definición de Entropía

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $S+S'=max$  Entropía y Sistema en Equilibrio

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\displaystyle\frac{1}{\Omega}\displaystyle\frac{\partial\Omega}{\partial E}-\displaystyle\frac{1}{\Omega'}\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}=0$  Energía más Probable

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\beta\eta-\displaystyle\frac{1}{2}\lambda\eta^2\ldots$  Serie de Taylor para el Número de Estados

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $P(E)=P(\bar{E})e^{-\lambda_0(E-\bar{E})^2/2}$  Forma de la Función Probabilidad

(ID-equation:[email protected]©20180320)

         

  Narrativa: Fuerza Generalizada


        $X_i=\displaystyle\frac{\partial E}{\partial x_i}$  Fuerza Generalizada

(ID-equation:[email protected]©20180320)

        $\bar{p}=\displaystyle\frac{N}{V}kT$  Ecuación general de los gases

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial V}$  Ejemplo de Fuerza Generalizada

(ID-equation:[email protected]©20180320)

   

  Titulo: 3 Termodinámica Estadística

      

  Titulo: 3.1 Función Partición

         

  Narrativa: Número de Estados y Probabilidades


        $E_0=E_r+E'$  Sistema en contacto con reservorio térmico

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $P_r=C'\Omega'(E_0-E_r)$  Probabilidad de encontrar el sistema en un estado $r$

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $\sum_rP_r=1$  Condición de normalización

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $\ln\Omega'(E_0-E_r)=\ln\Omega'(E_0)-\beta E_r$  Desarrollo del número de Estados en Serie de Taylor

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $P_r=Ce^{-\beta E_r}$  Ecuación para la probabilidad del estado $r$

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $C^{-1}=\sum_re^{-\beta E_r}$  Constante de normalización

(ID-equation:[email protected]©20180416)

         

  Narrativa: Función Partición


        $\bar{E}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_rE_re^{-\beta E_r}}{\displaystyle\sum_re^{-\beta E_r}}$  Energía Promedio

(ID-equation:[email protected]©20180518)

          Función partición

(ID-hypothesis:[email protected]©20180518)

        $\bar{E}=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$  Energía promedio calculada con la función partición

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\overline{E^2}=\displaystyle\frac{1}{Z}\displaystyle\frac{\partial^2Z}{\partial\beta^2}$  Promedio de la energía al cuadrado

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\overline{(\Delta E)^2}=\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z}{\partial\beta^2}$  Dispersión de la energía

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\delta W=\displaystyle\sum_i\bar{X}_idx_i$  Trabajo y la Fuerza Generalizada

(ID-equation:[email protected]©20180518)

          Fuerza generalizada y función partición

(ID-hypothesis:[email protected]©20180518)

        $\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$  Presión como Fuerza Generalizada

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $S=k(\ln Z+\beta\bar{E})$  Entropía y función partición

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $S=k\left(\ln Z-\beta\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}\right)$  Calculo de la entropía

(ID-equation:[email protected]©20180518)

      

  Titulo: 3.2 Funciones Termodinámicas

         

  Narrativa: Leyes de la termodinámica


        $dU=dQ+dW$  Primera ley de la termodinámica

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $\delta W = pdV$  Trabajo en función del volumen

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $dU=\delta Q + pdV$  Primera ley de la termodinámica en función de la presión

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $\delta Q=TdS$  Calor y entropia

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $dU=TdS + pdV$  Primera ley de la termodinámica en función de la entropia

(ID-equation:[email protected]©20180614)

         

  Narrativa: Energía Interna


        $U=TS-pV$  Energía Interna $U(S,V)$

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $dU=TdS-pdV$  Energía Interna como Diferencial

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $dU=\left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial S}\right)_VdS+\left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial V}\right)_SdV$  Diferencial de la Energía Interna

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S=-p$  Energía Interna y Ecuación de Estado con Entropía Constante

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V=T$  Energía Interna y Ecuación de Estado con Volumen Constante

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $U=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$  Energía Interna con Función Partición

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S=-\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial S}\right)_V$  Energía Interna y Relación de Maxwell

(ID-equation:[email protected]©20180515)

         

  Narrativa: Entalpía


          Entalpia $H(S,p)$

(ID-hypothesis:[email protected]©20180515)

        $dH=TdS+Vdp$  Entalpia como diferencial

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $dH=\left(\displaystyle\frac{\partial H}{\partial S}\right)_pdS+\left(\displaystyle\frac{\partial H}{\partial p}\right)_Sdp$  Diferencial de la Entalpía

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial H}{\partial S}\right)_p=T$  Entalpia y Ecuación de Estado con Presión Constante

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial H}{\partial p}\right)_S=V$  Entalpia y Ecuación de Estado con Entropía Constante

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $H=-\left(\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}\right)+\displaystyle\frac{V}{\beta}\left(\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}\right)$  Entalpia con Función Partición

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial T}{\partial p}\right)_S=\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial S}\right)_p$  Entalpia y Relación de Maxwell

(ID-equation:[email protected]©20180515)

         

  Narrativa: Energía Líbre de Helmholtz


          Energía Libre de Helmholtz $F(T,V)$

(ID-hypothesis:[email protected]©20180515)

        $dF=-SdT-pdV$  Energía Libre de Helmholtz como Diferencial

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $dF=\left(\displaystyle\frac{\partial F}{\partial T}\right)_VdT+\left(\displaystyle\frac{\partial F}{\partial V}\right)_TdV$  Diferencial de la Energía Libre de Helmholtz

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V=-S$  Energía Libre de Helmholtz y Ecuación de Estado con Volumen Constante

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T=-p$  Energía Libre de Helmholtz y Ecuación de Estado con Temperatura Constante

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $F=-\displaystyle\frac{1}{\beta}\ln Z$  Energía Libre de Helmholtz con Función Partición

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T=\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V$  Energía Libre de Helmholtz y su Relación de Maxwell

(ID-equation:[email protected]©20180515)

         

  Narrativa: Energía Libre de Gibbs


          Energía Libre de Gibbs G(T,p)

(ID-hypothesis:[email protected]©20180515)

        $G=U+pV-TS$  Energía Libre de Gibbs G(T,p) (2)

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $dG=-SdT+Vdp$  Energía Libre de Gibbs como Diferencial

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $dG=\left(\displaystyle\frac{\partial G}{\partial T}\right)_pdT+\left(\displaystyle\frac{\partial G}{\partial p}\right)_Tdp$  Diferencial de la Energía Libre de Gibbs

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial G}{\partial T}\right)_p=-S$  Energía Libre de Gibbs y Ecuación de Estado con Presión Constante

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial G}{\partial p}\right)_T=-V$  Energía Libre de Gibbs y Ecuación de Estado con Temperatura Constante

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $G=-\displaystyle\frac{1}{\beta}\ln Z+\displaystyle\frac{V}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}$  Energía Libre de Gibbs con Función de Partición

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T=\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p$  Energía Libre de Gibbs y su Relación de Maxwell

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $C_V>0$  Consecuencia estabilidad ante variación de temperatura

(ID-equation:[email protected]©20180615)

      

  Titulo: 3.3 Gas Ideal

         

  Narrativa: Función Partición Gas Ideal


        $R=N_Ak$  Constante de los Gases

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $pV=nRT$  Ecuación del Gas Ideal y Constante de los Gases

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $S=\displaystyle\frac{3}{2}Nk\ln\displaystyle\frac{U}{N}+Nk\ln\displaystyle\frac{V}{N}+Nk\ln\gamma$  Entropía de un Gas Ideal

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $\gamma=B\left(\displaystyle\frac{2m}{h^2}\right)^{3/2}$  Constante de la entropía

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $S=Nk\ln\left(\left(\displaystyle\frac{U}{N}\right)^{3/2}\displaystyle\frac{V}{N}\gamma\right)$  Entropía de un gas ideal, expresión adimensional

(ID-equation:[email protected]©20180416)

         

  Narrativa: Funciones Termodinámicas Gas Ideal


        $\ln Z=\ln\Omega(\bar{E})-\beta\bar{E}$  Relación función partición y numero de estados

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $U=\displaystyle\frac{N^{5/3}}{(\gamma V)^{2/3}}e^{2S/3kN}$  Energía interna

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $U=\displaystyle\frac{3}{2}NkT$  Energía interna y temperatura de un gas ideal

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $H=\displaystyle\frac{2S}{3k}\left(\displaystyle\frac{3p}{2\gamma}\right)^{2/5}e^{2S/5kN}$  Entalpía

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $F=-kNT$  Energía Libre de Helmholtz

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $G=0$  Energía Libre de Gibbs

(ID-equation:[email protected]©20180416)

   

  Titulo: 4 Propiedades de los Materiales

      

  Titulo: 4.1 Definiciones Macroscopicas

         

  Narrativa: Definiciones Macroscopicas


          Capacidad Calórica

(ID-description:[email protected]©20180410)

        $\alpha_V=\displaystyle\frac{1}{V}\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p$  Coeficiente de Dilatación Térmica

(ID-equation:[email protected]©20180410)

        $\kappa_T=-\displaystyle\frac{1}{V}\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T$  Coeficiente de Compresibilidad Isotérmica

(ID-equation:[email protected]©20180410)

        $c^2=\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_S$  Velocidad del Sonido como derivada de la Presión

(ID-equation:[email protected]©20180410)

        $c^2=\displaystyle\frac{1}{\kappa\rho}$  Calculo de la Velocidad del Sonido

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $C_V=C_p+T\left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T\left(\displaystyle\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V$  Relación entre Capacidades Caloríficas

(ID-equation:[email protected]©20180410)

        $C_V=\left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$  Capacidad Calórica de un Gas a Volumen constante

(ID-equation:[email protected]©20180410)

        $C_V=C_p-T\displaystyle\frac{\alpha^2V}{\kappa}$  Relación entre capacidad calorífica y constantes materiales

(ID-equation:[email protected]©20180417)

        $C_p=\left(\displaystyle\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p$  Capacidad Calórica de un Gas a Presión constante

(ID-equation:[email protected]©20180410)

      

  Titulo: 4.2 Calculo Microscópico

         

  Narrativa: Calculo Microscópico


          Calculo Microscópico

(ID-description:1385)

        $\ln\Omega =\beta E+\ln Z$  Número de estados en relación a la función partición

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $C_V=k\beta^2\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z}{\partial\beta^2}$  Capacidad Calórica a Volumen Constante en Función de la Función Partición

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $\displaystyle\frac{1}{\kappa}=-\displaystyle\frac{V}{\beta}\frac{\partial^2\ln Z}{\partial V^2}$  Compresibilidad y la Función Partición

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $\alpha_V=\kappa_T k\left(\beta\displaystyle\frac{\partial^2\ln Z}{\partial \beta\partial V}-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial V}\right)$  Dilatación Termica y la Función Partición

(ID-equation:[email protected]©20180412)

        $C_p=k\beta^2\displaystyle\frac{\partial^2 \ln Z}{\partial\beta^2}+kV\displaystyle\frac{\partial \ln Z}{\partial V}-k\beta V\displaystyle\frac{\partial^2 \ln Z}{\partial\beta\partial V}$  Capacidad calórica a presión constante en función de la función partición

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $\Omega(E,V)=BV^NE^{3N/2}$  Número de Estados de un Gas Ideal

(ID-equation:[email protected]©20180410)

        $\ln Z=\ln(BV^NE^{3N/2})-\beta E$  Función partición de un gas ideal por número de estados

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $U=E$  Relación energía de partícula y energía interna

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $Z(T,V)=BV^N\left(\displaystyle\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{3N/2}$  Función Partición de un Gas Ideal mediante Integración

(ID-equation:[email protected]©20180410)

        $U=\displaystyle\frac{3}{2}NkT$  Energía interna de un gas ideal

(ID-equation:[email protected]©20180416)

        $p=\displaystyle\frac{NkT}{V}$  Presión de un gas ideal

(ID-equation:[email protected]©20180416)

      

  Titulo: 4.3 Modelo de Gas Ideal

         

  Narrativa: Modelo de Gas Ideal


          Función Partición del Gas Ideal

(ID-description:819)

        $E=\displaystyle\frac{3N}{2\beta}$  Energía Interna de un Gas Ideal

(ID-equation:7983)

        $\kappa=\displaystyle\frac{1}{p}$  Coeficiente de Compresibilidad Isotérmica de un Gas Ideal

(ID-equation:4762)

        $\alpha=\displaystyle\frac{1}{T}$  Coeficiente de Dilatación Térmica de un Gas Ideal

(ID-equation:4763)

        $C_V=\displaystyle\frac{3Nk}{2}$  Capacidad Calórica a Volumen Constante de un Gas Ideal

(ID-equation:4759)

        $C_p= \displaystyle\frac{5Nk}{2}$  Capacidad Calórica a Presión Constante de un Gas Ideal

(ID-equation:4766)

        $c^2=\displaystyle\frac{p}{\rho}$  Velocidad del Sonido de un Gas Ideal

(ID-equation:7982)

      

  Titulo: 4.4 Calor Específico en Solidos

         

  Narrativa: Modelo de Liquido como Gas en Potencial


         

  Narrativa: Modelo mecánico de solido clásico


        $\kappa = -\displaystyle\frac{1}{V_0}\displaystyle\frac{\partial V}{\partial p}$  Compresibilidad de solidos

(ID-equation:[email protected]©20170423)

        $\epsilon = \displaystyle\frac{du}{L}$  Deformación

(ID-equation:[email protected]©20170423)

        $\sigma = E\epsilon$  Modulo de elasticidad

(ID-equation:[email protected]©20170423)

        $dV=V(1-2
u)\epsilon$
 Volumen infinitesimal

(ID-equation:[email protected]©20170423)

        $\kappa = \displaystyle\frac{3(1-2
u)}{E}$
 Compresibilidad y modulo de elasticidad

(ID-equation:[email protected]©20170423)

        $V=\displaystyle\frac{1}{2}E\epsilon^2$  Energía potencial

(ID-equation:[email protected]©20170423)

        $U=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{3}{(1-2
u)\kappa}\left(\displaystyle\frac{V-V_0}{V_0}\right)^2$
 Energía potencial en función del volumen

(ID-equation:[email protected]©20170423)

   

  Titulo: 5 Métodos de la Mecánica Estadística

      

  Titulo: 5.1 Paradoja de Gibbs y Teorema de Equipartición

         

  Narrativa: Paradoja de Gibbs


        $S=kN\left(\ln V + \displaystyle\frac{3}{2}\ln kT + \displaystyle\frac{3}{2}\ln\left(\displaystyle\frac{2\pi m}{h^2}\right)+\displaystyle\frac{3}{2}\right)$  Entropía de un gas ideal

(ID-equation:[email protected]©20180417)

          Paradoja de Gibbs

(ID-description:[email protected]©20180417)

        $v_n=\displaystyle\frac{V}{N}$  Volumen por partícula

(ID-equation:[email protected]©20180529)

        $\ln N!\sim N\ln N-N$  Primer termino de la aproximación de Stirling

(ID-equation:[email protected]©20180529)

          Solución de la Paradoja de Gibbs

(ID-hypothesis:[email protected]©20180517)

         

  Narrativa: Teorema de Equipartición


        $E=\displaystyle\frac{\displaystyle\int\prod_idq_i\prod_idp_iKe^{-\beta K}}{\displaystyle\int\prod_idq_i\prod_idp_ie^{-\beta K}}$  Premisas del teorema sobre la energía

(ID-equation:[email protected]©20180417)

        $\bar{E}=\displaystyle\frac{N}{2\beta}=\displaystyle\frac{3NkT}{2}$  Premisas del teorema sobre la energía cinética

(ID-equation:[email protected]©20180417)

        $\epsilon=\displaystyle\frac{kT}{2}$  Teorema de equipartición

(ID-equation:[email protected]©20180417)

          Significado físico del teorema

(ID-description:[email protected]©20180417)

        $\displaystyle\frac{1}{2}m\langle v^2\rangle=\displaystyle\frac{3}{2}k_BT$  Aplicación a la energía cinética

(ID-equation:[email protected]©20180417)

      

  Titulo: 5.2 Partición Gran Canónica

         

  Narrativa: Ensamble Macrocanónica


        $E_0=E+E'$  Energía del Reservorio

(ID-equation:[email protected]©20170418)

        $N_0=N+N'$  Generalización del Reservorio

(ID-equation:[email protected]©20170418)

        $P(E)=Ce^{-\beta E}$  Distribución Canónica

(ID-equation:[email protected]©20170418)

        $P(E,N)=Ce^{-\beta E-\alpha N}$  Distribución Gran Canónica

(ID-equation:[email protected]©20170418)

        $P(E)=\Omega'(E_0-E)$  Probabilidad de encontrar el Sistema con Energía $E$

(ID-equation:[email protected]©20170418)

        $\alpha\equiv\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial N'}$  Definición de Alfa $(\alpha)$

(ID-equation:[email protected]©20170418)

        $\beta\equiv\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E'}$  Definición de Beta $(\beta)$

(ID-equation:[email protected]©20170418)

         

  Narrativa: Función de Partición Macrocanónica


        ${\cal Z}=\displaystyle\sum_N\displaystyle\sum_re^{-\beta E_r-\alpha N}$  Gran Función Partición

(ID-equation:[email protected]©20180522)

        $\alpha=-\beta\mu$  Potencial Químico

(ID-equation:[email protected]©20180522)

        $\bar{E}=-\displaystyle\frac{\partial\ln{\cal Z}}{\partial\beta}$  Energía Media

(ID-equation:[email protected]©20180522)

        $\bar{N}=-\displaystyle\frac{\partial\cal{\ln Z}}{\partial\alpha}$  Número de Partículas

(ID-equation:[email protected]©20180522)

         

  Narrativa: Potencial Quimico


        $dS=\left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N_i}dV+\left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N_i}dV+\sum_i\left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial N_i}\right)_{U,V,N_j}dN_i$  Entropía y Número de Particulas

(ID-equation:[email protected]©20170720)

        $\mu_i\equiv \left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial N_i}\right)_{U,V,N_j}$  Potencial Quimico

(ID-equation:[email protected]©20170720)

        $dS=\displaystyle\frac{1}{T}dU+\displaystyle\frac{p}{T}dV+\sum_i\displaystyle\frac{\mu_i}{T}dN_i$  Entropía y Potencial Químico

(ID-equation:[email protected]©20170720)

        $\sum_i\mu_idN_i=0$  Potencial Quimico y Equilibrio

(ID-equation:[email protected]©20170720)

        $dU=\left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N_i}dV+\left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N_i}dV+\sum_i\left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial N_i}\right)_{S,V,N_j}dN_i$  Energía Interna y Número de Particulas

(ID-equation:[email protected]©20170720)

        $dU=TdS-pdV+\sum_i\mu_idN_i$  Energía Interna y Potencial Químico

(ID-equation:[email protected]©20170720)

        $dF=\left(\displaystyle\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V,N_i}dT+\left(\displaystyle\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N_i}dV+\sum_i\left(\displaystyle\frac{\partial F}{\partial N_i}\right)_{T,V,N_j}dN_i$  Energía Libre de Helmholtz y Número de Particulas

(ID-equation:[email protected]©20170720)

        $dF=-SdT-pdV+\sum_i\mu_idN_i$  Energía Libre de Helmholtz y Potencial Químico

(ID-equation:[email protected]©20170720)

        $dG=\left(\displaystyle\frac{\partial G}{\partial T}\right)_{p,N_i}dT+\left(\displaystyle\frac{\partial G}{\partial p}\right)_{T,N_i}dp+\sum_i\left(\displaystyle\frac{\partial G}{\partial N_i}\right)_{T,p,N_j}dN_i$  Energía Libre de Gibbs y Número de Particulas

(ID-equation:[email protected]©20170720)

        $dG=-SdT+Vdp+\sum_i\mu_idN_i$  Energía Libre de Gibbs y Potencial Químico

(ID-equation:[email protected]©20170720)

         

  Narrativa: Aplicaciones


        $\mu=\displaystyle\frac{S}{N}-\displaystyle\frac{5}{2}k$  Potencial Quimico de un Gas Ideal

(ID-equation:[email protected]©20170720)

        $\alpha=\displaystyle\frac{\partial \ln Z}{\partial N}$  Función Partición y Potencial Quimico

(ID-equation:[email protected]©20170720)

        $\mu=-kT\alpha$  Relación de alfa con Potencial Quimico

(ID-equation:[email protected]©20170720)

        $\alpha=\displaystyle\frac{\partial \ln Z}{\partial N}$  Modelo básico Liquid-Gas

(ID-equation:[email protected]©20170720)

   

  Titulo: 6 Aplicaciones de la Mecánica Estadística

      

  Titulo: 6.1 Propiedades de Solidos

         

  Narrativa: Modelo clásico del solido


          Modelo de Drude de un solido

(ID-image:[email protected]©20180518)

          Partículas sin interacción

(ID-content:[email protected]©20180518)

          Potencial constante

(ID-content:[email protected]©20180518)

          Potencial de un resorte

(ID-content:[email protected]©20180518)

        $Z=\displaystyle\frac{1}{h^{3N}}\int\prod_id^3p_i\prod_id^3q_ie^{-\beta \sum_i(p_i^2/2m+V(q_i)}
$
 Función partición en un sistema clásico

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $Z=\displaystyle\frac{1}{h^{3N}}\left(\displaystyle\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{3N/2}V^N$  Función partición en la aproximación de un potencial constante

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $Z=\displaystyle\frac{1}{h^{3N}}\left(\displaystyle\frac{2\pi }{\beta}\right)^{3N}\left(\displaystyle\frac{m}{k_s}\right)^{3N/2}e^{-\beta N V_0}$  Función partición en la aproximación harmonica

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\Theta_s\equiv \displaystyle\frac{h}{2\pi k}\sqrt{\displaystyle\frac{k_s}{m}}$  Temperatura característica

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $Z=\left(\displaystyle\frac{T}{\Theta_s}\right)^{3N}e^{-NV_0/kT}$  Función partición con temperatura característica

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\ln Z=3N\ln\left(\displaystyle\frac{T}{\Theta_s}\right)-\displaystyle\frac{NV_0}{kT}$  Logaritmo de la función partición

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $U=3NkT+NV_0$  Energía del solido

(ID-equation:[email protected]©20180518)

          Capacidad calórica del solido

(ID-description:[email protected]©20180518)

        $C_V=3Nk$  Capacidad calórica del solido clásico

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $S=3Nk\left(1+\ln\left(\displaystyle\frac{T}{\Theta_s}\right)\right)$  Entropia de un solido clasico

(ID-equation:[email protected]©20180518)

          Comparación entre modelos

(ID-php:[email protected]©20180524)

         

  Narrativa: Modelo mecánico cuánticos del sólidos


          Modelo de solido

(ID-concept:[email protected]©20180518)

          Capacidad calórica del solido

(ID-description:[email protected]©20180518)

          Partículas sin interacción

(ID-content:[email protected]©20180518)

          Potencial constante

(ID-content:[email protected]©20180518)

          Potencial de un resorte

(ID-content:[email protected]©20180518)

        $H=V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\sum_r^{3N}(\dot{q_r}^2+\omega_r^2q_r^2)$  Hamiltoniano del sólido

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\epsilon_r=\left(n_r+\displaystyle\frac{1}{2}\right)\hbar\omega_r$  Energias de los estados

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $E_{n_1,n_2,\ldots,n_{3N}}=V_0+\displaystyle\sum_r^{3N}\left(n_r+\displaystyle\frac{1}{2}\right)\hbar\omega_r$  Energía del solido

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\eta\equiv-\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_r\hbar\omega_r\right)$  Energía mínima a temperatura nula

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $Z=\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\ldots,3N}e^{-\beta\eta+\beta\sum_rn_r\hbar\omega_r}$  Función partición en el caso de un solido

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $Z=e^{-\beta\eta}\displaystyle\prod_r\left(\displaystyle\sum_{n_r=0}^{\infty}e^{-\beta n_r\hbar\omega_r}\right)$  Reordenando los productos

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $Z=e^{-\beta\eta}\displaystyle\prod_r\left(\displaystyle\frac{1}{1-e^{-\beta n_r\hbar\omega_r}}\right)$  Función partición de un solido

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\sum_{r=1}^{3N}\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega_r})$  Logaritmo de la función partición de un solido

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})\sigma(\omega)$  Función partición del solido con función de espectro

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\eta\equiv-\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty}\hbar\omega\sigma(\omega)d\omega\right)$  Energía mínima del solido con función de espectro

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\eta=-\left(V_0+\displaystyle\frac{3}{2}\hbar\omega_E\right)$  Energía mínima del solido con función de espectro

(ID-equation:[email protected]©20180518)

         

  Narrativa: Modelo de Einstein


          Modelamiento por Einstein

(ID-hypothesis:[email protected]©20180518)

        $\displaystyle\int_0^{\infty}\sigma(\omega)d\omega=3N$  Condición de normalización

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\sigma_E=3N$  Factor de distribución

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\sigma_E(\omega)d\omega=3N\delta(\omega-\omega_E)d\omega$  La distribución de Einstein

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\ln Z=\beta N\eta-3N\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega_E})$  La función partición en el modelo de Einstein

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\eta=-\left(V_0+\displaystyle\frac{3}{2}\hbar\omega_E\right)$  Energía mínima del solido con función de espectro

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\Theta_E=\displaystyle\frac{\hbar\omega_E}{k}$  Temperatura de Einstein

(ID-equation:[email protected]©20180516)

        $\ln Z=-\left(\displaystyle\frac{3}{2}+\displaystyle\frac{U_0}{k\Theta_E}\right)N\displaystyle\frac{\Theta_E}{T}-3N(1-e^{-\Theta_E/T})$  Función partición en función de la temperatura de Einstein

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\ln Z=-\left(\displaystyle\frac{3}{2}+\displaystyle\frac{U_0}{k\Theta_E}\right)N\displaystyle\frac{\Theta_E}{T}+\displaystyle\frac{3N}{2}\left(\displaystyle\frac{\Theta_E}{T}\right)^2-\displaystyle\frac{N}{2}\left(\displaystyle\frac{\Theta_E}{T}\right)^3+\ldots$  Función partición a altas temperaturas ($\Theta_E\ll T$)

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\bar{E}=NU_0+3N\hbar\omega_E\left(\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{e^{\beta\hbar\omega_E}-1}\right)$  Energía interna del modelo de Einstein

(ID-equation:[email protected]©20180517)

        $\bar{E}=NU_0+3Nk\Theta_E\left(\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{e^{\Theta_E/T}-1}\right)$  Energía interna en función de la temperatura de Einstein

(ID-equation:[email protected]©20180517)

        $\bar{E}=NU_0+3Nk\Theta_E\left(\displaystyle\frac{T}{\Theta_E}+\displaystyle\frac{1}{3\cdot 4}\displaystyle\frac{\Theta_E}{T}+\displaystyle\frac{1}{6!}\left(\displaystyle\frac{\Theta_E}{T}\right)^3+\ldots\right)$  Energía interna a altas temperaturas ($\Theta_E\ll T$)

(ID-equation:[email protected]©20180517)

        $\bar{E}=NU_0+3Nk\Theta_E\left(\displaystyle\frac{1}{2}+e^{-\Theta_E/T}+e^{-2\Theta_E/T}+e^{-3\Theta_E/T}+\ldots\right)$  Energía interna a bajas temperaturas ($T\ll\Theta_E$)

(ID-equation:[email protected]©20180517)

          Capacidad calórica del solido

(ID-description:[email protected]©20180518)

        $c_V=3kN\left(\displaystyle\frac{\Theta_E}{T}\right)^2\displaystyle\frac{e^{\Theta_E/T}}{(e^{\Theta_E/T}-1)^2}$  Calor especifica

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $c_V=3kN-\displaystyle\frac{kN}{4}\left(\displaystyle\frac{\Theta_E}{T}\right)^2+\ldots$  Calor especifico a altas temperaturas ($\Theta_E\ll T$)

(ID-equation:[email protected]©20180516)

        $c_V=3kN\left(\displaystyle\frac{\Theta_E}{T}\right)^2e^{-\Theta_E/T}\left(1+2e^{-\Theta_E/T}+3e^{-2\Theta_E/T}+\ldots\right)$  Calor especifico a bajas temperaturas ($T\ll\Theta_E$)

(ID-equation:[email protected]©20180516)

          Capacidad calorica medida

(ID-image:[email protected]©20180516)

        $S=-3Nk\ln(1-e^{-\Theta_E/T})+\displaystyle\frac{3Nk\Theta_E}{T}\displaystyle\frac{1}{e^{\Theta_E/T}-1}$  Entropia

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $S=-3kN\ln\left(\displaystyle\frac{\Theta_E}{T}\right)+3kN+\ldots+\displaystyle\frac{1}{8}kN\left(\displaystyle\frac{\Theta_E}{T}\right)^2+\ldots$  Entropia en el limite de altas temperaturas $\Theta_H\ll T$

(ID-equation:[email protected]©20180518)

          Comparación entre modelos

(ID-php:[email protected]©20180524)

         

  Narrativa: Modelo de Debye


          Modelo de Debye

(ID-description:[email protected]©20180518)

        $\sigma(\omega)d\omega=3\displaystyle\displaystyle\frac{V}{2\pi^3c_s^3}\omega^2d\omega$  Distribución de frecuencias angulares

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\omega_D=c_s\left(6\pi^2\displaystyle\frac{N}{V}\right)^{1/3}$  Frecuencia de Debye

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\sigma(\omega)d\omega=\displaystyle\frac{9N}{\omega_D^3}\omega^2\theta(\omega_D-\omega)d\omega$  Distribución de Debye con frecuencia de Debye

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\ln Z=-\beta N\eta+\displaystyle\frac{9N}{\omega_D^3}\displaystyle\int_0^{\omega_D}d\omega\omega^2\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})$  Función partición del modelo de Debye

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\eta=-\left(V_0+\displaystyle\frac{9}{8}\hbar\omega_D\right)$  Energía mínima del solido con función de espectro

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\bar{E}=N\eta+\displaystyle\frac{9N}{\omega_D^3}\displaystyle\int_0^{\omega_D}\displaystyle\frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}\omega^2d\omega$  Energía media

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $C_V=\displaystyle\frac{9Nk}{\omega_D^3}\displaystyle\int_0^{\omega_D}\displaystyle\frac{\hbar\omega}{(e^{\beta\hbar\omega}-1)^2}(\beta\hbar\omega)^2\omega^2d\omega$  Capacidad calorica

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $C_V=3Nk$  Calor especifico a límite de alta temperatura

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $C_V=\displaystyle\frac{12\pi^4}{5}Nk\left(\displaystyle\frac{T}{\Theta_D}\right)^3$  Calor especifico en límite de bajas temperaturas

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $C_V=k\displaystyle\frac{3V}{2\pi^2(c_s\beta\hbar)^3}\int_0^{\beta\hbar\omega_D}\displaystyle\frac{e^x}{(e^x-1)^2}dx$  Calor especifico en Modelo de Debye

(ID-equation:[email protected]©20180515)

        $C_V=3Nkf_D(\Theta_D/T)$  Calor especifico con función de Debye

(ID-equation:[email protected]©20180515)

          Capacidad calórica del solido

(ID-description:[email protected]©20180518)

          Comparación entre modelos

(ID-php:[email protected]©20180524)

      

  Titulo: 6.4 Magnetización

         

  Narrativa: Magnetización


          Energía magnética de un átomo en un campo magnético

(ID-hypothesis:[email protected]©20180518)

          Momento magnético del átomo

(ID-hypothesis:[email protected]©20180518)

        $\epsilon=-g\mu_0 H m$  Energías del átomo en campo magnético

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $Z=\left[\displaystyle\sum_{m=-J}^Je^{-\beta g\mu_0Hm}\right]^N$  Función partición de un átomo en un campo magnético

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\eta\equiv\displaystyle\frac{g\mu_0H}{kT}$  Factor adimensional

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $Z=\left[\displaystyle\frac{\sinh(J+\displaystyle\frac{1}{2})\eta}{\sinh\displaystyle\frac{1}{2}\eta}\right]^N$  Función partición para la magnetización

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $T_H\equiv\displaystyle\frac{g\mu_0H}{k}$  Temperatura característica

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\bar{\mu}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial H}$  Calculo de momento magnético medio

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $B_J(\eta)=\displaystyle\frac{1}{J}\left[\left(J+\displaystyle\frac{1}{2}\right) \text{coth}\left(J+\displaystyle\frac{1}{2}\right)\eta - \displaystyle\frac{1}{2} \text{coth}\displaystyle\frac{1}{2}\eta\right]$  Función del momento magnético $B_J(\eta)$

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\bar{\mu}=g\mu_0NB_J(\eta)$  Momento magnético

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $B_J(\eta)\sim\displaystyle\frac{J+1}{3}\eta$  Función $B(J)$ en el limite de altas temperaturas ($T_H\ll T$)

(ID-equation:[email protected]©20180518)

        $\bar{\mu}\sim \displaystyle\frac{J+1}{3}\displaystyle\frac{g^2\mu_0^2H}{kT}N$  Momento magnético en el limite de altas temperaturas ($T_H\ll T$)

(ID-equation:[email protected]©20180518)

   

  Titulo: 7 Estadística Cuántica en Gases Ideales

      

  Titulo: 7.1 Estadística de Bose-Einstein

         

  Narrativa: Estadística de Fotones


          Bosones

(ID-description:[email protected]©20180522)

        $Z=\displaystyle\sum_{n_r=0}^{\infty}e^{-\beta n_r\epsilon_s}$  Función partición para un numero indefinido de particulas

(ID-equation:[email protected]©20180522)

        $Z=\displaystyle\frac{1}{1-e^{-\beta\epsilon_r}}$  Función partición de fotones

(ID-equation:[email protected]©20180522)

        $\bar{n_r}=-\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\epsilon_r}$  Numero de Fotones

(ID-equation:[email protected]©20180522)

        $\bar{n}_r=\displaystyle\frac{1}{e^{\beta\epsilon_r}-1}$  Estadística de Fotones

(ID-equation:[email protected]©20180522)

         

  Narrativa: Estadística de Bose-Einstein


          Bosones

(ID-description:[email protected]©20180522)

          Estados posibles

(ID-description:[email protected]©20180522)

        $N=\sum_rn_r$  Descripción del sistema físico

(ID-equation:[email protected]©20180522)

        $E=\sum_rn_r\epsilon_r$  Energía total del sistema físico

(ID-equation:[email protected]©20180522)

        ${\cal{Z}}=\sum_{N'}\sum_{R,N'}e^{-\beta E_R}e^{-\alpha N'}$  Gran función partición general

(ID-equation:[email protected]©20180522)

        $\ln{\cal{Z}}_{BE}=-\sum_r\ln(1-e^{-\beta\epsilon_r-\alpha})$  Gran Función Partición de Bosones

(ID-equation:[email protected]©20180522)

        $\ln{\cal{Z}}=-\alpha N+\ln Z(N)$  Aproximación de la Gran Función Partición

(ID-equation:[email protected]©20180522)

        $\ln Z_{BE}=\alpha N-\displaystyle\sum_r\ln(1-e^{-\beta\epsilon_r-\alpha})$  Función partición de Bosones

(ID-equation:[email protected]©20180529)

        $\bar{n_r}=-\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\epsilon_r}$  Número medio de partículas

(ID-equation:[email protected]©20180522)

        $n_r=\displaystyle\frac{1}{e^{\alpha+\beta\epsilon_r}-1}$  Número de partículas en el estado $r$

(ID-equation:[email protected]©20180522)

        $\sum_i\rightarrow\displaystyle\frac{gV}{4\pi^2}\left(\displaystyle\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2}\epsilon^{1/2}d\epsilon$  Paso de suma a integral

(ID-equation:[email protected]©20180522)

        $\ln Z_{BE}=\displaystyle\frac{g}{4\pi^2}\left(\displaystyle\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2}\int_0^{\infty}(\alpha N-\sum_r\ln(1-e^{-\beta\epsilon_r-\alpha}))\epsilon^{1/2}d\epsilon$  Función partición de Bosones caso continuo

(ID-equation:[email protected]©20180522)

        $N=\displaystyle\frac{g}{4\pi^2}\left(\displaystyle\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2}\int_0^{\infty}\displaystyle\frac{\epsilon^{1/2}d\epsilon}{e^{\beta\epsilon+\alpha}-1}$  Numero de partículas caso continuo

(ID-equation:[email protected]©20180522)

        $N=\displaystyle\frac{g}{4\pi^2}\left(\displaystyle\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2}\int_0^{\infty}\displaystyle\frac{\epsilon^{1/2}d\epsilon}{e^{\beta\epsilon}-1}$  Temperatura de condensación

(ID-equation:[email protected]©20180522)

        $\displaystyle\frac{N_c}{V}=\displaystyle\frac{N}{V}\left(1-\left(\displaystyle\frac{T}{T_c}\right)^{3/2}\right)$  Formación del condensado

(ID-equation:[email protected]©20180522)

      

  Titulo: 7.2 Estadística de Fermi-Dirac

         

  Narrativa: Estadística de Fermi-Dirac


          Fermiones

(ID:[email protected]©20170507)

          Consecuencia del Principio de Exclusión

(ID-description:[email protected]©20180523)

        $\ln{\cal{Z}}_{FD}=\displaystyle\sum_r\ln(1+e^{-\alpha-\beta\epsilon_r})$  Gran Función Partición de fermiones

(ID-equation:[email protected]©20180523)

        $\ln Z_{FD}=\alpha N+\displaystyle\sum_r\ln(1+e^{-\alpha-\beta\epsilon_r})$  Aproximación de la Gran Función Partición

(ID-equation:[email protected]©20180523)

        $N=\displaystyle\sum_r\displaystyle\frac{1}{e^{\alpha+\beta\epsilon_r}+1}$  Número total de fermiones

(ID-equation:[email protected]©20180523)

        $n_r=\displaystyle\frac{1}{e^{\alpha+\beta\epsilon_r}+1}$  Número de partículas en el estado r

(ID-equation:[email protected]©20180523)

         

  Narrativa: Electrones de Conducción


          Electrones de conducción como gases

(ID-description:[email protected]©20180523)

          Distribución de electrones de conducción

(ID-description:[email protected]©20180523)

          Función de Fermi para distintas temperaturas

(ID-image:[email protected]©20180523)

        $\vec{p}=\hbar\vec{k}$  Momento y vector de onda de los electrones

(ID-equation:[email protected]©20180523)

        $\epsilon=\displaystyle\frac{\hbar^2\vec{k}^2}{2m}$  Energía de los electrones

(ID-equation:[email protected]©20180523)

        $d^3n=2\displaystyle\frac{V}{(2\pi)^3}d^3k$  Contando estados

(ID-equation:[email protected]©20180523)

        $N=2\displaystyle\frac{V}{(2\pi)^3}\displaystyle\frac{4\pi}{3}k_F^3$  Número total de estados

(ID-equation:[email protected]©20180523)

        $k_F=\left(3\pi^2\displaystyle\frac{N}{V}\right)^{1/3}$  Vector de onda de Fermi

(ID-equation:[email protected]©20180523)

        $\lambda_F=\displaystyle\displaystyle\frac{2\pi}{k_F}$  Largo de onda de Broglie

(ID-equation:[email protected]©20180523)

          Potencial quimico

(ID:[email protected]©20170507)

        $T_F=\displaystyle\frac{\epsilon_F}{k}$  Temperatura de Fermi

(ID-equation:[email protected]©20180523)

        $C_V=\displaystyle\frac{\pi^2}{2}kN\displaystyle\frac{T}{T_F}$  Capacidad calórica

(ID-equation:[email protected]©20180523)

      

  Titulo: 7.3 Estadística de Maxwell Boltzmann

         

  Narrativa: Estadística de Maxwell-Boltzmann


        $\ln Z_{MB}=N\ln\left(\displaystyle\sum_{v_r}e^{-\beta m v_r^2/2}\right)$  Logaritmo de la función partición de un gas ideal

(ID-equation:[email protected]©20180529)

        $\ln Z_{MB}=N\ln\left(\displaystyle\int d^3v_r e^{-\beta m v_r^2/2}\right)$  Logaritmo de la función partición en el limite continuo

(ID-equation:[email protected]©20180529)

        $f(\vec{v})d\vec{v}=\displaystyle\frac{e^{-\beta mv^2/2}d\vec{v}}{\displaystyle\int d^3v e^{-\beta mv^2/2}}$  Distribución de velocidades en gas ideal

(ID-equation:[email protected]©20180529)

        $\bar{v}=\sqrt{\displaystyle\frac{3kT}{m}}$  Velocidad media de una molécula en un gas ideal

(ID-equation:[email protected]©20180529)

         

  Narrativa: Límites de Estadísticas de Gases Cuanticos


        $\ln Z_{MB}=N\ln\left(\displaystyle\sum_r e^{-\beta\epsilon_r}\right)$  Función partición clásica

(ID-equation:[email protected]©20180529)

        $n_r=\displaystyle\frac{1}{e^{\alpha+\beta\epsilon_r}\pm 1}$  Número de partículas en el estado $r$

(ID-equation:[email protected]©20180529)

        $n_r=e^{-\alpha-\beta\epsilon_r}$  Aproximación clásica

(ID-equation:[email protected]©20180529)

        $\ln Z_{BE/FD}=\alpha N\pm\displaystyle\sum_r\ln(1\pm e^{-\alpha-\beta\epsilon_r})$  Función partición

(ID-equation:[email protected]©20180529)

        $N=\displaystyle\sum_r\displaystyle\frac{1}{e^{\alpha+\beta\epsilon_r}\pm 1}$  Calculo de alfa

(ID-equation:[email protected]©20180529)

        $\alpha=-\ln N+\ln\left(\displaystyle\sum_r e^{-\beta\epsilon_r}\right)$  Calculo de alfa en limite clásico

(ID-equation:[email protected]©20180529)

        $Z_{BE/FD}=\displaystyle\frac{1}{N!}Z_{MB}$  Función partición cuantica y clásica

(ID-equation:[email protected]©20180529)

   

  Titulo: 8 Sistemas con Interacción

      

  Titulo: 8.1 Gas Real

         

  Narrativa: Energía de un Gas Real


        $K=\displaystyle\frac{1}{2m}\sum_i^N\vec{p}_i^2$  Energía cinética de un gas real

(ID-equation:[email protected]©20180530)

        $U=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i,j,i\neq j}u_{ij}$  Energía potencial de un gas real

(ID-equation:[email protected]©20180530)

        $u(r)=4u_0\left[\left(\displaystyle\frac{a}{r}\right)^{12}-\left(\displaystyle\frac{a}{r}\right)^6\right]$  Ejemplo de energía potencial: Lennard-Jones

(ID-equation:[email protected]©20180530)

        $\ln Z_U=N\ln V-\displaystyle\int_0^{\beta}\bar{U}(\beta')d\beta'$  Ecuación función partición energía potencial

(ID-equation:[email protected]©20180530)

        $\bar{U}=\displaystyle\frac{1}{2}N^2\bar{u}$  Energía potencial de pares de partículas

(ID-equation:[email protected]©20180530)

        $\bar{U}=-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{N^2}{V}\displaystyle\frac{\partial I}{\partial\beta}$  Energía potencial total

(ID-equation:[email protected]©20180530)

        $\bar{u}=-\displaystyle\frac{1}{V}\displaystyle\frac{\partial I}{\partial\beta}$  Energía potencial de pares de partículas densidad

(ID-equation:[email protected]©20180530)

         

  Narrativa: Función Partición del Gas Real


        $Z=\displaystyle\frac{1}{N!}\int\displaystyle\frac{\prod_i^Nd^3p_i\prod_i^Nd^3q_i}{h^{3N}}e^{-\beta(K+U)}$  Función partición clásica

(ID-equation:[email protected]©20180530)

        $Z_K=\displaystyle\frac{1}{N!h^{3N}}\displaystyle\int\prod_i^Nd^3p_ie^{-\beta K}$  Función partición energía cinética

(ID-equation:[email protected]©20180530)

        $Z_K=\displaystyle\frac{1}{N!}\left(\displaystyle\frac{2\pi m}{h^2\beta}\right)^{3N/2}$  Integración de la función partición energía cinética

(ID-equation:[email protected]©20180530)

        $Z_U=\displaystyle\int\prod_i^Nd^3q_ie^{-\beta U}$  Función partición energía potencial

(ID-equation:[email protected]©20180530)

        $I(\beta)\equiv\displaystyle\int_0^{\infty}(e^{-\beta u(r)}-1)4\pi r^2dr$  Función integral energía potencial de pares

(ID-equation:[email protected]©20180530)

        $\ln Z_U=N\ln V+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{N^2}{V}I(\beta)$  Función de Partición de la Energía Potencial de Pares de Particulas

(ID-equation:[email protected]©20180530)

         

  Narrativa: Coeficientes de Vireal


        $\displaystyle\frac{\bar{p}}{kT}=c-\displaystyle\frac{1}{2}c^2I(\beta)$  Presión en primer orden, en concentración

(ID-equation:[email protected]©20180530)

        $\displaystyle\frac{\bar{p}}{kT}=\displaystyle\frac{N}{V}-\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{N^2}{V^2}I(\beta)$  Presión en primer orden

(ID-equation:[email protected]©20180530)

        $\displaystyle\frac{\bar{p}}{kT}=c+B_2(T)c^2+B_3(T)c^3+\ldots$  Presión en función de coeficientes de Virial

(ID-equation:[email protected]©20180530)

      

  Titulo: 8.2 Ecuación de Van der Waals

         

  Narrativa: Potencial de Interacción


        $u(r)=-u_0\left(\displaystyle\frac{r_0}{r}\right)^s$  Modelo de energía potencial simple

(ID-equation:[email protected]©20180605)

        $B_2=-\displaystyle\frac{1}{2}I(\beta)$  Coeficiente de Virial

(ID-equation:[email protected]©20180605)

        $B_2=-2\pi\displaystyle\int_0^{\infty}(e^{-\beta u(r)}-1)r^2dr$  Coeficiente de Virial en caso de simetría esférica

(ID-equation:[email protected]©20180605)

        $B_2=\displaystyle\frac{4\pi}{3}r_0^3\left(1-\displaystyle\frac{3}{s-3}\displaystyle\frac{u_0}{kT}\right)$  Coeficiente de Virial del modelo de energía potencial simple

(ID-equation:[email protected]©20180605)

         

  Narrativa: Gas de Van der Waals


        $c=\displaystyle\frac{nN_a}{V}$  Concentración y moles

(ID-equation:[email protected]©20180605)

        $n=\displaystyle\frac{N}{N_A}$  Número de moles

(ID-equation:[email protected]©20180605)

        $v=\displaystyle\frac{V}{n}$  Volumen molar

(ID-equation:[email protected]©20180605)

        $c=\displaystyle\frac{N_A}{v}$  Concentración y volumen molar

(ID-equation:[email protected]©20180605)

        $\displaystyle\frac{\bar{p}}{kT}=c$  Expansión de Virial en primer orden

(ID-equation:[email protected]©20180605)

        $pV=nkN_AT$  Ecuación de los gases y constante de Boltzmann

(ID-equation:[email protected]©20180605)

        $R=kN_A$  Constante de los gases

(ID-equation:[email protected]©20180605)

        $(\bar{p}+a_mc^2)\left(\displaystyle\frac{1}{c}-b_m\right)=kT$  La ecuación de los gases reales en función de la concentración

(ID-equation:[email protected]©20180605)

        $B_2=b_m\left(1-\displaystyle\frac{1}{kT}\displaystyle\frac{a_m}{b_m}\right)$  Coeficientes $a_m$ y $b_m$

(ID-equation:[email protected]©20180605)

        $\displaystyle\frac{\bar{p}}{kT}=c+b_m\left(1-\displaystyle\frac{1}{kT}\displaystyle\frac{a_m}{b_m}\right)c^2$  La ecuación de los gases reales en función de $a_m$, $b_m$ y $c$

(ID-equation:[email protected]©20180605)

        $b_m=\displaystyle\frac{4\pi}{3}r_0^3$  Factor microscópico $b_m$

(ID-equation:[email protected]©20180605)

        $a_m=\displaystyle\frac{3}{s-3}u_0b_m$  Factor microscópico $a_m$ en función de $b_m$

(ID-equation:[email protected]©20180605)

        $a_m=\displaystyle\frac{4\pi r_0^3}{s-3}u_0$  Factor macroscópico $a_m$

(ID-equation:[email protected]©20180605)

        $a=N_A^2a_m$  Factor macroscópico $a$

(ID-equation:[email protected]©20180605)

        $b=N_Ab_m$  Factor macroscópico $b$

(ID-equation:[email protected]©20180605)

        $\left(\bar{p}+\displaystyle\frac{a}{v^2}\right)(v-b)=RT$  La ecuación de los gases reales en función del volumen molar

(ID-equation:[email protected]©20180605)

      

  Titulo: 8.3 Ferromagnetismo

         

  Narrativa: Interacción entre Spines


        $\vec{\mu}=g\mu_0\vec{S}$  Momento magnético de un átomo

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        ${\cal H}_0=-\vec{\mu}\cdot\vec{H}_0$  Hamiltoneano de átomos en campo magnético

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        ${\cal H}_0=-g\mu_0\vec{S}\cdot\vec{H}_0$  Hamiltoneano de átomos en función del magnetón de Bohr

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $E_0=-g\mu_0H_0J_z$  Energía de átomos en campo magnético

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        ${\cal H}=-g\mu_0\displaystyle\sum_{j=1}^N\vec{S}_j\cdot\vec{H}_0$  Hamiltoneano de átomos en campo externo

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $E_0=-g\mu_0H_0\displaystyle\sum_{j=1}^NS_{zj}$  Energía de átomos en campo externo, sin interacción

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        ${\cal H}_{jk}=-2J\vec{S}_j\cdot\vec{S}_k$  Interacción con vecinos

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        ${\cal H}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(-2J\sum_j^N\sum_k^n\vec{S}_j\cdot\vec{S}_k\right)$  Hamiltoneano de interacción total con vecinos

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $E_m=-2J\displaystyle\sum_j^N\sum_k^nS_{jz}S_{kz}$  Energía de interacción total con vecinos

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $E=-g\mu_0H_0\displaystyle\sum_j^NS_{jz}-2J\displaystyle\sum_j^N\displaystyle\sum_kS_{jz}S_{kz}$  Energía total por atómo

(ID-equation:[email protected]©20180607)

         

  Narrativa: Modelo de Weiss


        $H_m\equiv\displaystyle\frac{2J}{g\mu_0}\overline{\sum_{k=1}^nS_{kz}}$  Aproximación de Weiss

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        ${\cal H}_j=-g\mu_0(H_0+H_m)S_{jz}$  Hamiltoneano en la aproximación de Weiss

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $E_m=-g\mu_0(H_0+H_m)m_s$  Energías en la aproximación de Weiss

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $Z=\displaystyle\frac{\sinh(S+\displaystyle\frac{1}{2})\eta}{\sinh\displaystyle\frac{1}{2}\eta}$  Función partición en la aproximación de Weiss

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $\eta =\displaystyle\frac{\mu_0H}{kT}$  Factor $\eta$

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $\bar{S}_{jz}=g\mu_0SB_S(\eta)$  Momento magnético medio

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $B_S(\eta)\equiv \displaystyle\frac{1}{J}\left[(S+\displaystyle\frac{1}{2})\coth(S+\displaystyle\frac{1}{2})\eta-\displaystyle\frac{1}{2}\coth\displaystyle\frac{1}{2}\eta\right]$  Función de Brillouin

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $T_c=\displaystyle\frac{2nJS(S+1)}{3k}$  Temperatura de Curie

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $2JnSB_S(\eta)=kT\left(\eta-\displaystyle\frac{g\mu_0H_0}{kT}\right)$  Campo magnético de los vecinos

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $\eta=\displaystyle\frac{g\mu_0H_0}{k(T-T_c)}$  Solución para $\eta \ll 1$

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $\chi=\displaystyle\frac{Ng^2\mu_0^2S(S+1)}{3k(T-T_c)}$  Susceptibilidad magnética

(ID-equation:[email protected]©20180607)

         

  Narrativa: Modelo de Ising


        $E=-\mu H\displaystyle\sum_iS_i-2J\displaystyle\sum_{i,j}S_iS_j$  Modelo de Ising

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $H_{eff}=H+\displaystyle\frac{J}{2\mu}\sum_{k=1,z}S_k$  Aproximación de campo medio

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $\bar{S}=\tanh(\beta\mu H_m)$  Spin medio

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $H_{eff}=H+\displaystyle\frac{J}{2\mu}\bar{S}$  Campo medio con spin medio

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $\bar{S}=\tanh\left(\beta\mu H+\beta z\displaystyle\frac{J}{2}\bar{S}\right)$  Ecuación para el spin medio

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $T_c=\displaystyle\frac{zJ}{2k}$  Temperatura crítica

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $H_c=\displaystyle\frac{kT_c}{\mu}$  Campo magnético crítico

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $\bar{S}=\tanh\left(\displaystyle\frac{T_c}{T}\left(\displaystyle\frac{H}{H_c}+\bar{S}\right)\right)$  Ecuación del modelo de Ising

(ID-equation:[email protected]©20180607)

        $\bar{S}_{i+1}=\tanh\left(\displaystyle\frac{T_c}{T}\left(\displaystyle\frac{H}{H_c}+\bar{S}_i\right)\right)$  Solución iterativa del modelo de Ising

(ID-equation:[email protected]©20180607)

   

  Titulo: 9 Cambios de Fase

      

  Titulo: 9.1 Equilibrio y la Energía de Gibbs

         

  Narrativa: Equilibrio y Energía de Gibbs


        $\Delta S_t=\Delta S+\Delta S_0\geq 0$  Entropía de dos sistemas ante cambios

(ID-equation:[email protected]©20180613)

        $\Delta S_0=-\displaystyle\frac{Q}{T_0}$  Calor absorbido por el reservorio

(ID-equation:[email protected]©20180613)

        $Q=\Delta\bar{U}+p_0\Delta V+W$  Efecto del calor absorbido

(ID-equation:[email protected]©20180613)

        $\Delta S_t=\Delta S-\displaystyle\frac{(\Delta\bar{U}+p_0\Delta V+W)}{T_0}$  Entropia de ambos sistemas en función de los cambios

(ID-equation:[email protected]©20180613)

        $G_0=\bar{U}-T_0S+p_0V$  Energía libre de Gibbs del sistema

(ID-equation:[email protected]©20180613)

        $\Delta G_0=\Delta\bar{U}-T_0\Delta S+p_0\Delta V$  Variación de la energía libre de Gibbs del sistema

(ID-equation:[email protected]©20180613)

        $\Delta S_t=\displaystyle\frac{-\Delta G_0-W}{T_0}$  Cambio de entropia en función del cambio en la energía libre de Gibbs

(ID-equation:[email protected]©20180613)

        $-\Delta G_0\geq W$  Condición de energía libre para realizar trabajo

(ID-equation:[email protected]©20180613)

        $\Delta G_0=\mbox{minimo}$  Condición de equilibrio

(ID-equation:[email protected]©20180613)

        $\Delta G_0=G_0-G_{min}=\left(\displaystyle\frac{\partial G_0}{\partial T}\right)_V(T-T_m)+\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{\partial^2 G_0}{\partial T^2}\right)_V(T-T_m)^2\ldots$  Impacto de las fluctuaciones de temperatura en la estabilidad

(ID-equation:[email protected]©20180613)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial G_0}{\partial T}\right)_V=0$  Pendiente de la función de Gibbs en torno al mínimo

(ID-equation:[email protected]©20180613)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial^2 G_0}{\partial T^2}\right)_V>0$  Curvatura de la función de Gibbs en torno al mínimo

(ID-equation:[email protected]©20180613)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial G_0}{\partial T}\right)_V=\left(\displaystyle\frac{\partial\bar{U}}{\partial T}\right)_V-T_0\left(\displaystyle\frac{\partial\bar{S}}{\partial T}\right)_V$  Primera derivada de la energía libre de Gibbs

(ID-equation:[email protected]©20180613)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial\bar{U}}{\partial T}\right)_V=T\left(\displaystyle\frac{\partial\bar{S}}{\partial T}\right)_V$  Relación entropia y energía interna

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial G_0}{\partial T}\right)_V=\left(\displaystyle\frac{\partial\bar{U}}{\partial T}\right)_V\left(1-\displaystyle\frac{T_0}{T}\right)$  Calculo de la primera derivada de la energía libre de Gibbs

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial\bar{U}}{\partial T}\right)_V>0$  Calculo de la segunda derivada de la energía libre de Gibbs

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $\Delta G_0=G_0-G_{min}=\left(\displaystyle\frac{\partial G_0}{\partial V}\right)_T\Delta V+\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{\partial^2 G_0}{\partial V^2}\right)_T\Delta V^2\ldots$  Impacto de las fluctuaciones de volumen en la estabilidad

(ID-equation:[email protected]©20180615)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial G_0}{\partial V}\right)_T=0$  Pendiente de la función de Gibbs en torno al mínimo en volumen

(ID-equation:[email protected]©20180615)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial^2 G_0}{\partial V^2}\right)_T>0$  Curvatura de la función de Gibbs en torno al mínimo en el volumen

(ID-equation:[email protected]©20180615)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial G_0}{\partial V}\right)_T=\left(\displaystyle\frac{\partial\bar{U}}{\partial V}\right)_T-T_0\left(\displaystyle\frac{\partial\bar{S}}{\partial V}\right)_T+p_0$  Primera derivada de la energía libre de Gibbs en el volumen

(ID-equation:[email protected]©20180615)

        $T_0\left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T=\left(\displaystyle\frac{\partial\bar{U}}{\partial V}\right)_T+\bar{p}$  Primera ley en el caso temperatura constante

(ID-equation:[email protected]©20180615)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial G_0}{\partial V}\right)_T=-\bar{p}+p_0$  Impacto de las fluctuaciones de volumen en la estabilidad

(ID-equation:[email protected]©20180615)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial^2 G_0}{\partial V^2}\right)_T=-\left(\displaystyle\frac{\partial\bar{p}}{\partial V}\right)_T$  Consecuencia estabilidad ante fluctuaciones del volumen

(ID-equation:[email protected]©20180615)

        $\displaystyle\frac{\partial V}{\partial p}<0$  Pendiente de volumen en la presión

(ID-equation:[email protected]©20180615)

        $\kappa\geq 0$  Consecuencia para la compresibilidad

(ID-equation:[email protected]©20180615)

      

  Titulo: 9.2 Ecuación de Clausius-Clapeyron

         

  Narrativa: Ecuación de Clausius-Clapeyron


          Diagrama de fase en general

(ID-description:[email protected]©20180610)

          Diagrama de fase del agua

(ID-description:[email protected]©20180610)

          Comportamiento en la línea de equilibrio entre fases

(ID-description:[email protected]©20180610)

        $g_1=g_2$  Cambio de fase

(ID-equation:[email protected]©20180610)

        $\displaystyle\frac{dp}{dT}=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta v}$  Ecuación de Clausius Clapeyron

(ID-equation:[email protected]©20180610)

        $p=p_{crit}e^{-l/RT}$  Presión de vapor

(ID-equation:[email protected]©20180610)

        $\Delta l=T\Delta s$  Calor latente

(ID-equation:[email protected]©20180610)

        $\displaystyle\frac{dp}{dT}=\displaystyle\frac{\Delta l}{T\Delta v}$  Ecuación de Clausius Clapeyron y calor latente

(ID-equation:[email protected]©20180610)

        $\Delta T=\displaystyle\frac{1}{\kappa \Delta l}\displaystyle\frac{\Delta v^2}{v}T$  Reducción de punto de congelación del agua

(ID-equation:[email protected]©20180610)

   

  Titulo: 10 Aplicaciones del Cambio de Fase

      

  Titulo: 10.1 Potencial Quimico

         

  Narrativa: Aplicación a Gas de Van der Waals


        $p=\displaystyle\frac{RT}{(v-b)}-\displaystyle\frac{a}{v^2}$  Aplicación a la ecuación de Van der Waals

(ID-equation:[email protected]©20180614)

          Gas de Van der Waals y cambio de fase

(ID-description:[email protected]©20180614)

        $g-g_0=\displaystyle\int_{p_0}^pv\,dp$  Energía libre de Gibbs y ecuación de Van der Waals

(ID-equation:[email protected]©20180614)

          Cambio de fase con el modelo de Van Der Waals

(ID-image:[email protected]©20180614)

          Función de Gibbs en función de la presión

(ID-image:[email protected]©20180614)

          Constantes de Van der Waals

(ID-description:[email protected]©20180615)

          Representación gráfica ecuación de Van der Waals

(ID-description:[email protected]©20180614)

          Simulación de un gas de Van der Waals

(ID-php:[email protected]©20180618)

         

  Narrativa: Potencial Quimico


        $dS=\displaystyle\displaystyle\frac{1}{T}dU+\displaystyle\displaystyle\frac{p}{T}dV+\sum_n^m\displaystyle\displaystyle\frac{\mu_i}{T}dN_i$  Diferencial de la entropía de múltiples componentes

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $\mu_i=-T\left(\displaystyle\displaystyle\frac{\partial S}{\partial N_i}\right)_{U,V}$  Potencial químico y entropía

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $dU=TdS-pdV+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i$  Diferencial de la energía Interna de múltiples componentes

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $\mu_i=\left(\displaystyle\displaystyle\frac{\partial U}{\partial N_i}\right)_{S,V,N}$  Potencial químico y energía Interna

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $dF=-SdT-pdV+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i$  Energía libre de Helmholtz de múltiples componentes, detalle

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $\mu_i=\left(\displaystyle\displaystyle\frac{\partial F}{\partial N_i}\right)_{T,V,N}$  Potencial químico y energía libre de Helmholtz

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $dG=-SdT+Vdp+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i$  Diferencial de la energía libre de Gibbs de múltiples componentes

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $\mu_i=\left(\displaystyle\displaystyle\frac{\partial G}{\partial N_i}\right)_{T,p,N}$  Potencial químico y energía libre de Gibbs

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $Z_t(V)=\prod_i^n Z_i(V)$  Función partición de múltiples componentes

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $\mu_i=-kT\ln\displaystyle\frac{\sum_{s_i}e^{-\beta e(s_i)}}{N_i}$  Potencial químico y función partición

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $S_t=\displaystyle\sum_iS_i$  Entropía de múltiples componentes

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $U_t=\sum_iU_i$  Energía interna de múltiples componentes

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $F_t=\sum_iF_i$  Energía libre de Helmholtz de múltiples componentes

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $p=\displaystyle\sum_i^np_i$  Presiones parciales

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $-SdT+Vdp+\displaystyle\sum_n^m\mu_idN_i=0$  Relación de Gibbs-Duhem

(ID-equation:[email protected]©20180614)

         

  Narrativa: Cambio de Fase y un Gas de Van der Waals


        $p=\displaystyle\frac{RT}{(v-b)}-\displaystyle\frac{a}{v^2}$  Aplicación a la ecuación de Van der Waals

(ID-equation:[email protected]©20180614)

          Gas de Van der Waals y cambio de fase

(ID-description:[email protected]©20180614)

        $g-g_0=\displaystyle\int_{p_0}^pv\,dp$  Energía libre de Gibbs y ecuación de Van der Waals

(ID-equation:[email protected]©20180614)

          Cambio de fase con el modelo de Van Der Waals

(ID-image:[email protected]©20180614)

          Función de Gibbs en función de la presión

(ID-image:[email protected]©20180614)

          Constantes de Van der Waals

(ID-description:[email protected]©20180615)

          Representación gráfica ecuación de Van der Waals

(ID-description:[email protected]©20180614)

          Simulación de un gas de Van der Waals

(ID-php:[email protected]©20180618)

      

  Titulo: 10.2 Soluciones y Presión Osmótica

         

  Narrativa: Soluciones


        $\Delta S=-k\left(N\ln\displaystyle\frac{N}{N+N_s}+N_s\ln\displaystyle\frac{N_s}{N+N_s}\right)$  Entropía de la solución

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $\Delta S=-kN_s\left(\ln\displaystyle\frac{N_s}{N}-1\right)$  Entropía de una solución débil

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $G(T,p,N,N_s)=Ng_0(T,p)+N_s\Psi-kTN_s\left(\ln\displaystyle\displaystyle\frac{N_s}{N}-1\right)$  Función de Gibbs de la solución

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $\mu_0=g_0(T,p)-\displaystyle\frac{N_s}{N}kT$  Potencial químico del solvente

(ID-equation:[email protected]©20180614)

          Diagrama de fase

(ID-image:[email protected]©20180614)

        $\mu_L(T,p,N,N_s)=\displaystyle\frac{s_L}{N_A}(T-T_0)-\displaystyle\frac{N_s}{N}kT$  Potencial quimico de una solución

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $\mu_S(T,p,N)=\displaystyle\frac{s_S}{N_A}(T-T_0)$  Potencial quimico de un solido

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $\mu_V(T,p,N,N_s)=\displaystyle\frac{s_V}{N_A}(T-T_0)$  Potencial quimico del vapor

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $\left(\displaystyle\frac{\partial\mu}{\partial T}\right)_p=-\displaystyle\frac{N}{N_A}s(T,p)$  Potencial quimico en función de la entropía

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $l_S=T_f(s_L-s_S)$  Calor latente de congelación

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $l_V=T_b(s_V-s_L)$  Calor latente de evaporación

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $T_s=T_b+\displaystyle\frac{N_s}{N}\displaystyle\frac{RT_b^2}{l_V}$  Elevación de punto de ebullición por solución

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $T_s=T_b-\displaystyle\frac{N_s}{N}\displaystyle\frac{RT_b^2}{l_S}$  Reducción de punto de congelación por solución

(ID-equation:[email protected]©20180614)

          Reducción de presión de vapor por solución

(ID-description:[email protected]©20170613)

        $G(T,p,N_A,N_B)=N_A\mu_A^0(T,p)+N_B\mu_B^0(T,p)\\-k\left(N\ln\displaystyle\frac{N_A}{N_A+N_B}+N_B\ln\displaystyle\frac{N_B}{N_A+N_B}\right)+\lambda\displaystyle\frac{N_AN_B}{N_A+N_B}$  Soluciones binarias

(ID-equation:[email protected]©20180614)

         

  Narrativa: Presión Osmótica


        $g_0(p,T)=g_0(p',T)-\displaystyle\frac{N_s}{N}kT$  Situación con membrana y solución

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $\Psi=-\displaystyle\frac{N_s}{N}\displaystyle\frac{kT}{\left(\displaystyle\displaystyle\frac{\partial g_0}{\partial p}\right)_T}$  Presión osmótica

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $\displaystyle\frac{\partial g_0}{\partial p}=\displaystyle\frac{v}{N_A}$  Derivada de la energía de Gibbs en el volumen

(ID-equation:[email protected]©20180614)

        $\Psi=\displaystyle\frac{N_s}{V}RT$  Comportamiento del soluto como gas ideal

(ID-equation:[email protected]©20180614)

          Presión osmótica y tubo U

(ID-image:[email protected]©20180614)

   

  Titulo: 11 Teoría de Transporte

      

  Titulo: 11.1 Teoría Cinética de los Gases

         

  Narrativa: Camino Libre


          Partículas en un Volumen

(ID-image:[email protected]©20180625)

          Choque de partículas formando el camino libre

(ID-image:[email protected]©20180625)

        $P(t)=e^{-\omega t}$  Probabilidad de no Chocar

(ID-equation:[email protected]©20180625)

        ${\cal P}dt=\omega e^{-\omega t}dt$  Probabilidad de chocar

(ID-equation:[email protected]©20180625)

        $\tau=\displaystyle\frac{1}{\omega}$  Tiempo medio entre choques

(ID-equation:[email protected]©20180625)

        $l=v\tau$  Cálculo del camino libre

(ID-equation:[email protected]©20180625)

          Angulo en que se Desvía la Partícula

(ID-image:[email protected]©20180625)

        $\tau=\displaystyle\frac{1}{\bar{V}\sigma_0 c_N}$  Sección eficaz total y tiempo entre colisiones

(ID-equation:[email protected]©20180625)

        $l=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}\sigma_0 c_N}$  Sección eficaz total y camino libre

(ID-equation:[email protected]©20180625)

         

  Narrativa: Difusión


        $j_i=\displaystyle\frac{1}{6}c_N\bar{v}$  Flujo entre celdas

(ID-equation:[email protected]©20180625)

        $j_i=-\displaystyle\frac{1}{3}\bar{v}l \displaystyle\frac{\partial c}{\partial x_i}$  Transporte de particulas

(ID-equation:[email protected]©20180625)

        $j_i=-D\displaystyle\frac{\partial c}{\partial x_i}$  Ley de Fick

(ID-equation:[email protected]©20180625)

        $D=\displaystyle\frac{1}{3}\bar{v}l$  Flujo por Difusión

(ID-equation:[email protected]©20180625)

         

  Narrativa: Viscosidad


        $\sigma_{ij}=-\displaystyle\frac{1}{3}c_Nm\bar{v} l \displaystyle\frac{\partial u_j}{\partial x_i}$  Transporte de momento

(ID-equation:[email protected]©20180625)

        $\sigma_{ij}=-\eta\displaystyle\frac{\partial u_j}{\partial x_i}$  Tensión por viscosidad

(ID-equation:[email protected]©20180625)

        $\eta=\displaystyle\frac{1}{3}c_Nm\bar{v}l$  Definición del coeficiente de viscosidad

(ID-equation:[email protected]©20180625)

         

  Narrativa: Conductividad Térmica


        $c_v=\displaystyle\frac{\partial \epsilon}{\partial T}$  Capacidad calórica molar

(ID-equation:[email protected]©20180625)

        ${\cal Q}_i =-\displaystyle\frac{1}{6}c_N\bar{v}c_vl\displaystyle\frac{\partial T}{\partial x_i}$  Transporte de energía

(ID-equation:[email protected]©20180625)

        ${\cal Q}=-\lambda\displaystyle\frac{\partial T}{\partial z}$  Flujo de Calor

(ID-equation:[email protected]©20180625)

        $\lambda=\displaystyle\frac{1}{3}c_N\bar{v}c_vl$  Conductividad térmica, con capacidad calorica molar

(ID-equation:[email protected]©20180625)

      

  Titulo: 11.2 Ecuación de Boltzmann

         

  Narrativa: Función de Distribución


          Descripción del sistema

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          Función distribución

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        $\vec{x}'=\vec{x}+\vec{v}dt$  Desplazamiento de partículas

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        $\vec{v}'=\vec{v}+\displaystyle\frac{1}{m}\vec{F}dt$  Variación de la velocidad de las partículas

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        $\displaystyle\frac{df}{dt}=0$  Flujo de partículas

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        $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}+\vec{v}\cdot\nabla_{\vec{x}} f+\displaystyle\frac{1}{m}\vec{F}\cdot\nabla_{\vec{v}} f=0$  Ecuación de transporte sin colisiones

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  Narrativa: Colisiones


        $\displaystyle\frac{df}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_{in}-f_{out})$  Colisiones

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        $f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_1',\vec{v}_2')d\vec{v}_1'd\vec{v}_2'$  Cálculo de colisiones

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        $\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{in}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_2d\vec{v}_1'f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_1',\vec{v})$  Colisiones que contribuyen

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        $\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{out}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_1'd\vec{v}_2'f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v},t)|\vec{v}-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v},\vec{v}_1\rightarrow\vec{v}_1',\vec{v}_2')$  Colisiones que abandonan la celda

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        $\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_{in}-f_{out})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}'d\vec{v}_1'(f(\vec{x},\vec{v}',t)f(\vec{x},\vec{v}_1',t)-f(\vec{x},\vec{v},t)f(\vec{x},\vec{v}_1,t))|\vec{v}-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v},\vec{v}_1\rightarrow\vec{v}',\vec{v}_1')$  Colisiones totales

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  Narrativa: Estimación de Propiedades


        $c(\vec{x},t)=\displaystyle\int d\vec{v} f(\vec{x},\vec{v},t)$  Concentración de partículas

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        $\vec{\chi}(\vec{x},t)=\displaystyle\frac{1}{c(\vec{x},t)}\displaystyle\int d\vec{v} f(\vec{x},\vec{v},t)\chi(\vec{x},\vec{v},t)$  Valor esperado de una magnitud

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        $\rho(\vec{x},t) = m\displaystyle\int f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$  Densidad

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        $\vec{u}(\vec{x},t) = \displaystyle\frac{m}{\rho}\int \vec{v}f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$  Velocidad de flujo

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        $T(\vec{x},t) = \displaystyle\frac{m}{3R\rho}\displaystyle\int (\vec{v}\cdot\vec{v})f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$  Temperatura

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        $\sigma_{ij} = m\displaystyle\int (v_i-u_i)(v_j-u_j)f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$  Tensor de tensión

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  Narrativa: Limite continuo


        $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}+\displaystyle\sum_iv_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}+\displaystyle\sum_ia_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$  Introducción de la aceleración

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        $m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3vf+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v a_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$  Calculo de la densidad

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        $m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v f=\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t}$  Calculo de la densidad, primer termino

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        $m\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_if=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}(\rho u_i)=\vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{u})$  Calculo de la densidad, segundo termino

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        $m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\sum_ia_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=0$  Calculo de la densidad, tercer termino

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        $m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c=0$  Calculo de la densidad, termino colisiones

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        $\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t}+\vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{u})=0$  Ecuación de continuidad

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        $m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v v_jf+m\displaystyle\sum_i \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_jv_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v v_ja_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v v_j\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$  Calculo del momento

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        $m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v v_jf=\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(\rho u_j)$  Calculo del momento, primer termino

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        $\rho\langle v_jv_i\rangle\equiv m\displaystyle\int d^3v v_jv_if$  Calculo del momento, segundo termino

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        $\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}$  Velocidad de las partículas en el sistema local

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        $\langle\vec{w}\rangle=\langle\vec{v}\rangle-\langle\vec{u}\rangle=\langle\vec{v}\rangle-\vec{u}=0$  Valor medio de la velocidad de las partículas en el sistema local

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        $m\displaystyle\int d^3v v_jv_if=\rho\langle v_jv_i\rangle=\rho u_ju_i + \rho\langle w_jw_i\rangle$  Tensor del promedio del producto de las velocidades

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        $m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\sum_i v_ja_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=-\rho a_j$  Calculo del momento, tercer termino

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        $m\displaystyle\int d^3v v_j\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c=0$  Calculo del momento, termino colisiones

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        $\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(\rho u_j)+\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}(\rho u_ju_i + \rho\langle w_jw_i\rangle)-\rho a_j=0$  Ecuación de momento

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        $\rho\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\vec{u}+\vec{u}\cdot\nabla\vec{u}+\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}(\rho\langle w_jw_i\rangle)=\rho\vec{a}$  Ecuación de flujo

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        $p=\displaystyle\frac{1}{3}\rho\displaystyle\sum_i\langle w_i^2\rangle$  Presión

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        $\pi_{ij}=p\delta_{ij}-\rho\langle w_iw_j\rangle$  Tensor de tensión viscosa

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        $\rho\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\vec{u}+\vec{u}\cdot\nabla\vec{u}+\vec{\nabla} p-\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\pi_{ij}=\rho\vec{a}$  Ecuación de flujo en forma tensorial

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        $\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{1}{2}mv^2f+\displaystyle\sum_i \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{1}{2}mv^2v_if+\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{1}{2}mv^2a_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$  Ecuación de energía

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        $\epsilon=\displaystyle\frac{1}{2}\langle\vec{w}\cdot\vec{w}\rangle$  Energía

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        $\vec{F}=\displaystyle\frac{1}{2}\langle\vec{w}(\vec{w}\cdot\vec{w})\rangle$  Flujo de energía por conducción

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        $\Psi=\displaystyle\sum_{i,j}\pi_{ij}\displaystyle\frac{\partial u_i}{\partial x_j}$  Fracción de disipación viscosa

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        $\rho\displaystyle\frac{\partial\epsilon}{\partial t}+\rho\vec{u}\cdot\vec{\nabla}\epsilon=-p\vec{\nabla}\cdot\vec{u}-\vec{\nabla}\cdot\vec{F}+\Psi$  Ecuación de energía

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  Narrativa: Soluciones Aproximadas


        $f^{(0)}(\vec{x},\vec{v},t)=c(\vec{x},t)\left(\displaystyle\frac{m\beta}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-\beta m(\vec{v}-\vec{u}(\vec{x},t))^2/2}$  Aproximación por distribución Maxwell Boltzmann

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        $\displaystyle\frac{df}{dt}=-\displaystyle\frac{1}{\tau}(f-f^{(0)})$  Aproximación de Relajación

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        $f_i^{eq}=\rho\omega_i\left(1+\displaystyle\frac{3\vec{u}\cdot\vec{e}_i}{c}+\displaystyle\frac{9(\vec{u}\cdot\vec{e}_i)^2}{2c^2}-\displaystyle\frac{3u^2}{2c^2}\right)$  Aproximación de Bhatnagar-Gross-Krook

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  Titulo: 12 Procesos Irreversibles

      

  Titulo: 12.1 Movimiento Browniano

         

  Narrativa: Ecuación de Langevin


          El movimiento Brownieano

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        $m\displaystyle\frac{dv}{dt}=G+F(t)$  Ecuación de movimiento

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        $v(t)=\bar{v}+u(t)$  Descomposición de la velocidad

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        $\langle v(t)\rangle=\bar{v}+\langle u(t)\rangle\sim\bar{v}$  Velocidad media

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        $m\displaystyle\frac{d\bar{v}}{dt}=\bar{G}$  Promedio de la ecuación de movimiento

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        $m\displaystyle\frac{d\langle u\rangle}{dt}=\langle F\rangle$  Ecuación de fluctuaciones

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        $m\displaystyle\frac{dv}{dt}=-\alpha v + G$  Ecuación de Lagevin

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        $\displaystyle\frac{d}{dt}\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{1}{2}\langle xv\rangle$  Dispersión de las partículas

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        $m\displaystyle\frac{d}{dt}\langle xv\rangle =-\alpha \langle xv\rangle+3k_BT$  Aplicación de la ecuación de Langevin

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        $\langle xv(t)\rangle = \displaystyle\frac{3k_BT}{\alpha}(1-e^{-\alpha t/m})
$
 Solución de la aplicación de la ecuación de Langevin

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        $\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3mk_BT}{2\alpha}\left(\displaystyle\frac{\alpha t}{m}-1+e^{-\alpha t/m}\right)$  Solución dispersión de las partículas

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        $\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3k_BT}{4m}t^2$  Límite de la solución dispersión de las partículas a corto plazo

(ID-equation:[email protected]©20180712)

        $\langle x^2\rangle =\displaystyle\frac{3k_BT}{2\alpha}t$  Límite de la solución dispersión de las partículas a largo plazo

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  Titulo: 12.2 Distribución de Probabilidades

         

  Narrativa: Ecuación de Fokker Planck


          Probabilidad de transición

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        $s=t-t_0$  Tiempo relativo

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        $\displaystyle\frac{\partial P}{\partial s}dv\tau=-\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}dv' P(v,s|v_0)P(v',\tau|v)+\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}dv' P(v',s|v_0)P(v,\tau|v')$  Evolución temporal de la probabilidad

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        $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}dv' P(v',s|v)=1$  Normalización

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        $\displaystyle\frac{\partial P}{\partial s}\tau=- P(v,s|v_0)+\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}d\xi P(v-\xi,s|v_0)P(v,\tau|v-\xi)$  Ecuación maestra de probabilidad

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        $\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}P(v,s|v_0)=\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{n!}\displaystyle\frac{\partial^n}{\partial v^n}[M_nP(v,s|v_0)]$  Desarrollo de Taylor

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        $M_n=\displaystyle\frac{1}{\tau}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}d\xi P(v+\xi,\tau|v)\xi^n=\displaystyle\frac{1}{\tau}\langle (v(\tau)-v(0))^n\rangle$  Coeficiente de la serie

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        $\tau\displaystyle\frac{\partial P}{\partial s} = \displaystyle\frac{\partial}{\partial v}(M_1P)+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial v^2}(M_2P)$  Ecuación de Fokker Planck

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        $M_1=\displaystyle\frac{1}{\tau}(v(\tau)-v(0)) = -\displaystyle\frac{1}{\tau}v$  Coeficiente M_1

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        $M_2=\displaystyle\frac{1}{\tau}\langle (v(\tau)-v(0))^2\rangle = \displaystyle\frac{1}{\tau}\displaystyle\frac{6k_BT}{m}$  Coeficiente M_2

(ID-equation:[email protected]©20180705)

        $\tau\displaystyle\frac{\partial P}{\partial s} = \displaystyle\frac{\partial}{\partial v}(vP)+\displaystyle\frac{3k_BT}{m}\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial v^2}P$  Ecuación de Fokker Planck para factores M dados

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        $P(v,s|v_0)=\sqrt{\displaystyle\frac{m}{2\pi k_BT(1-e^{-2s/\tau})}}e^{-m(v-v_0e^{-s/\tau})^2/2k_BT(1-e^{-2s/\tau})}$  Solución de la ecuación de Fokker Planck

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  Titulo: 0 Métodos

      

  Narrativa: Desarrollos


      $g=g(f)$  Reformular

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      $g=g(f,f_1)$  Desarrollar con una segunda ecuación

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      $g=g(f,f_1,f_2)$  Desarrollar con dos ecuaciones

(ID-equation:[email protected]©20170507)

      $g=g(f,f_1,f_2,f_3)$  Desarrollar con tres ecuaciones

(ID-equation:[email protected]©20170507)

      $g=g(f,f_1,f_2,f_3,f_4)$  Desarrollar con cuatro ecuaciones

(ID-equation:[email protected]©20170507)

      $g=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial u}$  Derivar

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      $g=\displaystyle\int du f$  Integral indefinida

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      $g(b)-g(a)=\displaystyle\int du f$  Integral definida

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      $f=f(u_1)$  Parametrizar con una variable

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      $f=f(u_1,u_2)$  Parametrizar con dos variable

(ID-equation:[email protected]©20170507)

      $f=f(u_1,u_2,u_3)$  Parametrizar con tres variable

(ID-equation:[email protected]©20170507)

      $f=f(u_1,u_2,u_3,u_4)$  Parametrizar con cuatro variable

(ID-equation:[email protected]©20170507)

      $f=f(u_1,u_2,u_3,u_4,u_5)$  Parametrizar con cinco variable

(ID-equation:[email protected]©20170507)

      $f=f(u_1,u_2,u_3,u_4,u_5,u_6)$  Parametrizar con seis variable

(ID-equation:[email protected]©20170507)