Curso: UACh-FSCA158 Simulación

   

  Titulo: 1 Método Euler

      

  Titulo: 1.1 Método de Euler

         

  Narrativa: Método de Euler


          El método de simulación

(ID-description:[email protected]©20171106)

          Cuando y porque simular

(ID-description:[email protected]©20171106)

          Objetivo de la simulación

(ID-description:[email protected]©20171106)

        $t_n = n\cdot\Delta t,\,n=0,1,2,3,\ldots$  Segmentación del tiempo

(ID-equation:[email protected]©20171106)

        $x_n\equiv x(t_n)$  Limitaciones

(ID-equation:[email protected]©20171106)

        $\displaystyle\frac{dx}{dt}=f(x,t)$  Modelo para la simulación

(ID-equation:[email protected]©20171106)

          Modelo en primer orden

(ID-description:[email protected]©20171106)

        $x_{n+1}=x_n+f(x_n,t_n)\Delta t$  Simulación con el método de Euler

(ID-equation:[email protected]©20171106)

          Evolución como Serie de Taylor

(ID-description:[email protected]©20171106)

        $\displaystyle\frac{dx}{dt} = \displaystyle\frac{x_{n+1}-x_n}{\Delta t} + \displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}\right)_n\Delta t+O(\Delta t^2)$  Error de estimación de la derivada

(ID-equation:[email protected]©20171106)

        $\epsilon_l=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}\Delta t$  Estimación del error por iteración

(ID-equation:[email protected]©20171106)

        $\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}\sim\displaystyle\frac{x_{n+1}+x_{n-1}-2x_n}{\Delta t^2}$  Estimación de la segunda derivada

(ID-equation:[email protected]©20171106)

        $M=\max\displaystyle\frac{df}{dt}$  Cota de error por iteración

(ID-equation:[email protected]©20171106)

        $K=\max f(t,x)$  Cota de la función de evolución

(ID-equation:[email protected]©20171106)

        $\epsilon_g\leq\displaystyle\frac{M\Delta t}{K}(e^{Kt}-1)$  Error acumulado del método de Euler

(ID-equation:[email protected]©20171106)

          Inestabilidad de la solución

(ID-description:[email protected]©20171106)

        $\displaystyle\frac{d^nx}{dt^n}=f\left(t,x,\displaystyle\frac{dx}{dt},\ldots,\displaystyle\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}\right)$  Modelos de segundo y mayor orden

(ID-equation:[email protected]©20171106)

        $\begin{matrix}\displaystyle\frac{dx}{dt} & = & v_1 \\\displaystyle\frac{dv_1}{dt} & = & v_2 \\& \ldots & \\\displaystyle\frac{dv_i}{dt} & = & v_{i+1} \\& \ldots & \\\displaystyle\frac{dv_k}{dt} & = & f(t,x,v_1,\ldots,v_{k-1}) \\\end{matrix}$  Reducción a sistemas de primer orden

(ID-equation:[email protected]©20171106)

        $x_{i,n+1} = x_{i,n}+ f_i(t,x_{1,n},x_{2,n},\ldots,x_{N,n})\Delta t$  Método de Euler para sistemas de ecuaciones

(ID-equation:[email protected]©20171106)

        $v_{i,n+1} = v_{i,n}+\displaystyle\frac{1}{2}(v_{i+1,n+1}+ v_{i+1,n})\Delta t$  Método de Euler-Richardson

(ID-equation:[email protected]©20171106)

      

  Titulo: 1.2 Aplicación del Método de Euler

         

  Narrativa: Forma de trabajo


          Material

(ID-description:[email protected]©20180403)

          Clase básica

(ID-content:[email protected]©20180403)

         

  Narrativa: Caso del Oscilador Armónico Amortiguado


          Ejemplo Dos Curvas distinto $\Delta t$

(ID-html:[email protected]©20170614)

          Ejemplo Una Curvas que Oscila

(ID-html:[email protected]©20170614)

          Ejemplo

(ID-content:[email protected]©20171218)

        $m\displaystyle\frac{d^2s}{dt}+b\displaystyle\frac{ds}{dt}+ks=0$  Oscilador armónico amortiguado

(ID-equation:[email protected]©20170614)

        $\displaystyle\frac{dv}{dt}=-\displaystyle\frac{1}{\tau}v-\omega^2s=0$  Transformación a primer orden (2)

(ID-equation:[email protected]©20170614)

          Material

(ID-description:[email protected]©20180403)

         

  Narrativa: Parametrización del Modelo


          Cambio de variables

(ID-description:[email protected]©20170614)

        $x=x_0 \xi$  Escalando la posición

(ID-equation:[email protected]©20170507)

        $v=v_0 \eta$  Escalando la velocidad

(ID-equation:[email protected]©20170507)

        $\tau=\displaystyle\frac{x_0}{v_0}$  Tiempo característico

(ID-equation:3505[email protected]©20170507)

        $t=\tau u$  Escalando el tiempo

(ID-equation:[email protected]©20170507)

        $v_0=\sqrt{\displaystyle\frac{k}{m}}x_0$  Velocidad característica

(ID-equation:[email protected]©20170507)

        $\omega_0^2=\displaystyle\frac{k}{m}$  La frecuencia de oscilación

(ID-equation:[email protected]©20170507)

        $\displaystyle\frac{d^2s}{dt^2}+\displaystyle\frac{1}{\tau}\displaystyle\frac{ds}{dt}+\omega_0^2s=0$  Reescribiendo la ecuación del oscilador

(ID-equation:[email protected]©20170507)

        $\lambda\equiv\displaystyle\frac{b}{\sqrt{km}}$  Parámetro característico del modelo

(ID-equation:[email protected]©20170507)

        $\xi_{n+1}=\xi_n+\eta_n\Delta u$  Ecuación de velocidad con el método de Euler

(ID-equation:[email protected]©20170507)

        $\displaystyle\frac{1}{\tau}=\displaystyle\frac{b}{m}$  La amortiguación

(ID-equation:[email protected]©20170507)

        $u=n\Delta u$  Serie Tiempo

(ID-equation:3597)

        $\vec{x}_{n+1}=A\vec{x}_n$  Representación Matricial

(ID-equation:3595)

        $A=\begin{bmatrix}{1}&{\Delta u}\\{-\Delta u}&{1-\lambda\Delta u}\end{bmatrix}$  Matriz de Evolución

(ID-equation:3596)

         

  Narrativa: Error y Optimización


        $\epsilon_n=\sum_{k=0}^n\epsilon_{l,k}$  Error Acumulado

(ID-equation:3514)

        $\epsilon_{l,n}=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{x_{n+1}+x_{n-1}-2x_n}{\Delta u}$  Error Local

(ID-equation:3513)

        $\xi_{n+1}=\xi_n+\displaystyle\frac{1}{2}(\eta_n+\eta_{n+1})\Delta u$  Ecuación de Velocidad con el Método de Euler-Richardson

(ID-equation:3512)

   

  Titulo: 2 Método Runge-Kutta

      

  Titulo: 2.1 Método de Runge-Kutta

         

  Narrativa: Método de Runge-Kutta (4RK)


          Problema del Método de Euler

(ID-description:592)

          Método Runge-Kutta adaptivo

(ID-description:594)

        $x_{n+1}=x_n+\displaystyle\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\Delta t$  Método Runge-Kutta

(ID-equation:3493)

        $t_{n+1}=t_n+\Delta t$  Incrementos en el Tiempo en 4RK

(ID-equation:3494)

        $k_1=f(t_n,x_n)$  $k_1$ Incremento de la pendiente en el inicio del intervalo en 4RK

(ID-equation:3495)

        $k_2=f(t_n+\displaystyle\frac{1}{2}\Delta t,x_n+\displaystyle\frac{1}{2}k_1\Delta t)$  $k_2$ Incremento de la pendiente en la mitad del intervalo en 4RK

(ID-equation:3496)

        $k_3=f(t_n+\displaystyle\frac{1}{2}\Delta t,x_n+\displaystyle\frac{1}{2}k_2\Delta t)$  $k_3$ Incremento de la pendiente en la mitad del intervalo en función de $k_2$ en 4RK

(ID-equation:3497)

        $k_4=f(t_n+\Delta t,x_n+k_3\Delta t)$  $k_4$ Incremento de la pendiente en el final del intervalo en 4RK

(ID-equation:3498)

        $\int_a^bf(x)dx\sim \displaystyle\frac{b-a}{6}[f(a)+4f(\displaystyle\frac{a+b}{2})+f(b)]$  Regla de Simpson

(ID-equation:3515)

        $\epsilon_l=\displaystyle\frac{8(k_3-k_2)^3}{15(k_4-k_1)^2}$  Error del Método Runge-Kutta

(ID-equation:3516)

         

  Narrativa: Método de Heun (2RK)


        $x_{n+1}=x_n+\displaystyle\frac{1}{2}(h_1+h_2)\Delta t$  Método de Heun (equivalente a un 2RK)

(ID-equation:3517)

        $h_1=f(t_n,x_n)$  $h_1$ Incremento por Pendiente Inicial en 2RK

(ID-equation:3518)

        $h_2=f(t_n+\Delta t,x_n+h1\Delta t)$  $h_2$ Incremento por Pendiente Final en 2RK

(ID-equation:3519)

      

  Titulo: 2.2 Aplicación Método de Runge-Kutta

         

  Narrativa: Aplicación del Método de Runge-Kutta


          Adaptación del Método Runge-Kutta al caso Oscilador

(ID-description:600)

        $\displaystyle\frac{d\eta}{du}=-\xi-\lambda\eta$  Ecuación de la Fuerza en 4RK

(ID-equation:4756)

        $\displaystyle\frac{d\xi}{du}=\eta$  Ecuación de la Velocidad en 4RK

(ID-equation:4757)

        $k_{1\eta}=-\xi-\lambda\eta$  $k_{1\eta}$ ecuación Fuerza en 4RK

(ID-equation:4748)

        $k_{1\xi}=1$  $k_{1\xi}$ ecuación Velocidad en 4RK

(ID-equation:4749)

        $k_{2\eta}=-\xi-\lambda\eta_n-\displaystyle\frac{\Delta u}{2}k_{1\xi}(k_{1\xi}+\lambda k_{1\eta})$  $k_{2\eta}$ ecuación Fuerza en 4RK

(ID-equation:4750)

        $k_{2\xi}=1$  $k_{2\xi}$ ecuación Velocidad en 4RK

(ID-equation:4751)

        $$  $k_{3\eta}$ ecuación Fuerza en 4RK

(ID-equation:4752)

        $k_{3\xi}=1$  $k_{3\xi}$ ecuación Velocidad en 4RK

(ID-equation:4753)

        $k_{4\eta}=-\xi-\lambda\eta_n-\Delta u k_{3\xi}(k_{1\xi}+\lambda k_{3\eta})$  $k_{4\eta}$ ecuación Fuerza en 4RK

(ID-equation:4754)

        $k_{4\xi}=1$  $k_{4\xi}$ ecuación Velocidad en 4RK

(ID-equation:4755)

   

  Titulo: 3 Sistema de Dos Cuerpos

      

  Titulo: 3.1 Conceptos

         

  Narrativa: Sistema de dos Cuerpos


          El Sistema de dos cuerpos

(ID:[email protected]©20170614)

        $m_1\ddot{\vec{x}_1}=\vec{F}(\vec{x}_1,\vec{x}_2)$  Ecuación de movimiento para la masa 1

(ID-equation:[email protected]©20170614)

        $m_2\ddot{\vec{x}_2}=-\vec{F}(\vec{x}_1,\vec{x}_2)$  Ecuación de Movimiento para la masa 2

(ID-equation:[email protected]©20170614)

          Posición del centro de masa

(ID:[email protected]©20170614)

        $\ddot{\vec{R}}=0$  Ecuación de movimiento del centro de masa

(ID-equation:[email protected]©20170614)

        $\vec{r}=\vec{x}_2-\vec{x}_1$  Distancia

(ID-equation:[email protected]©20170614)

        $\mu\ddot{\vec{r}}=\vec{F}(\vec{r})$  Ecuación de movimiento de la distancia

(ID-equation:[email protected]©20170614)

        $\mu\equiv\displaystyle\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$  Masa reducida

(ID-equation:[email protected]©20170614)

         

  Narrativa: Ecuaciones de Movimiento


          Momento angular

(ID:[email protected]©20170614)

        $\vec{p}=\mu\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt}$  Momento

(ID-equation:[email protected]©20170614)

        $\dot{\vec{L}}=\vec{r}\times\vec{F}$  Derivada temporal del Momento Angular

(ID-equation:[email protected]©20170614)

        $\dot{\vec{L}}=0$  Caso Fuerza Central

(ID-equation:[email protected]©20170614)

        $\mu(\ddot{r}-\displaystyle\frac{\dot{r}^2}{r})=F(r)$  Ecuación Radial

(ID-equation:[email protected]©20170614)

        $r\ddot{\phi}+2\dot{r}\dot{\phi}=0$  Ecuación Angular

(ID-equation:[email protected]©20170614)

      

  Titulo: 3.2 Aplicación a Siatema de Dos Cuerpos

         

  Narrativa: Aplicación a Dos Cuerpos


        $v=\cdot{r}$  Introducción de la Velocidad Tangencial

(ID-equation:4780)

        $\omega=\cdot{\phi}$  Introducción de la Velocidad Angular

(ID-equation:4781)

        $\cdot{v}=\displaystyle\frac{F(r)}{\mu}+rv$  Ecuación Radial

(ID-equation:4782)

        $\cdot{\omega}=-\displaystyle\frac{2v\omega}{r}$  Ecuación Angular

(ID-equation:4783)

        $r_{n+1}=r_n+v_n\Delta t$  Velocidad Tangencial en Aproximación de Euler

(ID-equation:4784)

        $\phi_{n+1}=\phi_n+\omega_n\Delta t$  Velocidad Angular en Aproximación de Euler

(ID-equation:4785)

        $v_{n+1}=v_n+\left(\displaystyle\frac{F(r_n)}{\mu}+r_nv_n\right)\Delta t$  Ecuación Radial en Aproximación de Euler

(ID-equation:4786)

        $\omega_{n+1}=\omega_n-\displaystyle\frac{2v_n\omega_n}{r_n}\Delta t$  Ecuación Angular en Aproximación de Euler

(ID-equation:4787)

   

  Titulo: 4 Modelo de Lotka-Volterra

      

  Titulo: 4.1 Conceptos

         

  Narrativa: Sistemas de Cooperación


          Dinámica de presa y predador

(ID-description:[email protected]©20170614)

          Nacimiento de Presas

(ID-description:[email protected]©20170614)

          Muerte de presas

(ID-description:[email protected]©20170614)

          Nacimiento de predadores

(ID-description:[email protected]©20170614)

          Muerte de predadores

(ID-description:[email protected]©20170614)

         

  Narrativa: Ecuación de Lotka-Volterra


          Ecuación de la presa

(ID:[email protected]©20170614)

        $\displaystyle\frac{dn}{dt}=\delta n N-\gamma n$  Ecuación del predador

(ID-equation:[email protected]©20170614)

        $n=\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}$  Situación de equilibrio (estático) de predador

(ID-equation:[email protected]©20170614)

        $N=\displaystyle\frac{\gamma}{\delta}$  Situación de equilibrio (estático) de presas

(ID-equation:[email protected]©20170614)

      

  Titulo: 4.2 Aplicación Modelo de Lotka-Volterra

         

  Narrativa: Aplicación de la Ecuación de Lotka-Volterra


          Solución de la ecuación

(ID:[email protected]©20170614)

        $\displaystyle\frac{dn}{dN}=-\displaystyle\frac{n}{N}\displaystyle\frac{\delta N-\gamma}{\beta n-\alpha}$  Ecuación independiente del tiempo

(ID-equation:[email protected]©20170614)

   

  Titulo: 5 Procesos Aleatorios

      

  Titulo: 5.1 Conceptos

         

  Narrativa: Procesos Aleatorios


          Generador de números aleatorios

(ID-description:[email protected]©20170426)

        $x_{n+1}=(c_0x_n+c_1)\mod\,m$  Método de generación de números aleatorios

(ID-equation:[email protected]©20170426)

        $y_n=\displaystyle\frac{x_n}{m}$  Adaptación de números aleatorios

(ID-equation:[email protected]©20170426)

        $z_n=(b-a)x_n+a$  Distribución en función cajón

(ID-equation:[email protected]©20170426)

          Randomización

(ID-description:[email protected]©20170426)

         

  Narrativa: Trabajo con Distribuciones


        $z_n=\sigma\sqrt{-\ln(y_{n1})}\cos(2\pi y_{n2});$  Distribución en forma de Gausseana

(ID-equation:[email protected]©20170426)

          Paseo aleatorio de paso fijo en 1D

(ID-description:[email protected]©20170426)

          Paseo aleatorio de paso fijo en 2D

(ID-description:[email protected]©20170426)

      

  Titulo: 5.2 Aplicación Práctica

         

  Narrativa: Aplicación de Procesos Aleatorios


          Calculo de las posibles posiciones tras N pasos

(ID-description:[email protected]©20170426)

        $P(x)dx=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{n=x/a}^{(x+dx)/a}c(n)}{\displaystyle\sum_{n=-N}^{N}c(n)}$  Calculo de la probabilidad

(ID-equation:[email protected]©20170426)

   

  Titulo: 6 Sistema de Multiples Partículas

      

  Titulo: 6.1 Sistema de Multiples Partículas

         

  Narrativa: Modelo de Múltiples Partículas


          Condiciones iniciales

(ID-description:[email protected]©20170503)

          Posiciones iniciales

(ID-description:[email protected]©20170503)

        $NdkT=\sum_i m_i\vec{v}_i\cdot\vec{v}_i$  Velocidades iniciales

(ID-equation:[email protected]©20170503)

        $x_i=x_i\mod L$  Caso partículas móviles

(ID-equation:[email protected]©20170503)

          Caso partículas en estructura

(ID-description:[email protected]©20170503)

        $p=\displaystyle\frac{NkT}{V}+\displaystyle\frac{1}{d}\sum_i\overline{\vec{x}_{i,j}\cdot\vec{F}_j}$  Presión en el sistema

(ID-equation:[email protected]©20170503)

        $C_V=\displaystyle\frac{dNk}{2}\displaystyle\frac{1}{1-\displaystyle\frac{2}{dN}\displaystyle\frac{(\langle T^2\rangle-\langle T\rangle^2)}{(k\langle T\rangle)^2}}$  Capacidad calórica en el sistema

(ID-equation:[email protected]©20170503)

         

  Narrativa: Interacción entre Partículas


        $U=\sum_{i,j}U(\vec{x}_i,\vec{x}_j)$  Sistema con interacción

(ID-equation:[email protected]©20170503)

        $V(r)=4V_0\left(\left(\displaystyle\frac{a}{r}\right)^{12}-\left(\displaystyle\frac{a}{r}\right)^{6}\right)$  Modelos de Lennard-Jones

(ID-equation:[email protected]©20170503)

        $\vec{F}=\displaystyle\displaystyle\frac{24V_0}{r}\left(2\left(\displaystyle\displaystyle\frac{a}{r}\right)^{12}-\left(\displaystyle\displaystyle\frac{a}{r}\right)^{6}\right)$  Fuerza del modelo de Lennard-Jones

(ID-equation:[email protected]©20170503)

      

  Titulo: 6.2 Condiciones de Borde

         

  Narrativa: Problema de Sistema Finito


          Condiciones de borde

(ID-description:[email protected]©20170503)

          Problema de número de partículas

(ID-description:[email protected]©20170503)

          Renormalización de la energía

(ID-description:[email protected]©20170503)

          Problema de potencial de fondo

(ID-description:[email protected]©20170503)

         

  Narrativa: Soluciones


          Caso con Interacción: Conservación de Energía

(ID-description:[email protected]©20170503)

          Renormalización de la energía

(ID-description:[email protected]©20170503)

          Paredes Espejo

(ID-description:[email protected]©20170503)

          Caso de un Gas

(ID-description:[email protected]©20170503)

          Caso de un solido

(ID-description:[email protected]©20170503)

          Caso de un Liquido

(ID-description:[email protected]©20170503)

   

  Titulo: 7 Estructura

      

  Titulo: 7.1 Percolación

         

  Narrativa: Teoría de Percolación


          Concepto de percolación

(ID-description:[email protected]©20170509)

          Modelos con celdas

(ID-image:[email protected]©20170509)

          Modelos con puentes

(ID-image:[email protected]©20170509)

          Probabilidad de percolación

(ID-image:[email protected]©20170509)

        $P_{\infty}\sim (p-p_c)^{\beta}$  Parámetro de orden

(ID-equation:[email protected]©20170509)

        $c\sim (p-p_c)^{1/\sigma}$  Tamaño medio de los clusters finitos

(ID-equation:[email protected]©20170509)

        $\xi\sim (p-p_c)^{-\gamma}$  Largo de correlación

(ID-equation:[email protected]©20170509)

          Restricción

(ID-image:[email protected]©20170509)

        $p_c(d)=\displaystyle\frac{1}{2}$  Valor crítico de formación de clusters (nD)

(ID-equation:[email protected]©20170509)

          Valor crítico de formación de clusters (1D)

(ID:[email protected]©20170509)

         

  Narrativa: Modelos con Percolación


          Modelo de celdas (4D)

(ID-html:[email protected]©20170509)

          Tamaño del cluster

(ID-html:[email protected]©20170509)

      

  Titulo: 7.2 Fractales

         

  Narrativa: Figuras Similares


          Caso General

(ID-image:[email protected]©20170509)

          Ejemplo de figura: formas de Sierpinsky

(ID-image:[email protected]©20170509)

          Dimensión de los triangulos de Sierpinsky

(ID-image:[email protected]©20170509)

          Autosimilitud de los triangulos de Sierpinsky

(ID-image:[email protected]©20170509)

          Ejemplo método aplicado a triángulos de Sierpinsky

(ID-image:[email protected]©20170509)

          Método de Box-Counting

(ID-image:[email protected]©20170509)

          Escalación convencional

(ID-description:[email protected]©20170509)

          Ejemplo de la isla de Koch

(ID-image:[email protected]©20170509)

         

  Narrativa: Estructuras Fractales


          Fractales

(ID-description:[email protected]©20170509)

        $\displaystyle\displaystyle\frac{A_b}{A}=b^D$  Definición de las dimensiones

(ID-equation:[email protected]©20170509)

        $D=\displaystyle\frac{log(A_b/A)}{log(b)}$  Ecuación para la dimensión

(ID-equation:[email protected]©20170509)

          Dimensión de la isla de Koch

(ID-description:[email protected]©20170509)

        $D=\displaystyle\frac{log(n)}{log(1/\epsilon)}$  Dimensión mediante conteo en caja

(ID-equation:[email protected]©20170509)

        $z_{n+1}=z_n^2+C$  Figura de Mandelbrot

(ID-equation:[email protected]©20170512)

          Ejemplos de la figura de Mandelbrot

(ID-image:[email protected]©20170512)

         

  Narrativa: Ejemplo de imagenes de Mandelbrot


        $z_{n+1}=z_n^2+C$  Figura de Mandelbrot

(ID-equation:[email protected]©20170512)

          Ejemplos de la figura de Mandelbrot

(ID-image:[email protected]©20170512)

          Ejemplo de código simplificado

(ID-description:[email protected]©20170512)

          Código de iteración

(ID-description:[email protected]©20170512)

          Código de Clasificación

(ID-description:[email protected]©20170512)

          Ejemplo de código simple

(ID-html:[email protected]©20170512)

   

  Titulo: 8 Ecuaciones Diferenciales Parciales

      

  Titulo: 8.1 Método de Elementos Finitos

         

  Narrativa: Ecuaciones Diferenciales Parciales


          Ecuaciones de Derivadas Parciales

(ID-description:835)

        $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}=D\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$  Ecuación de Difusión

(ID-equation:3976)

        $\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$  Ecuación de Onda

(ID-equation:3977)

        $\lambda=D\displaystyle\frac{\Delta t}{\Delta x^2}$  Diferencias Finitas

(ID-equation:3975)

         

  Narrativa: Métodos de Resolución


        $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=\displaystyle\frac{u_{n,i+1}-u_{n,i-1}}{2\Delta x}$  Estimación de la Derivada de Primer Orden

(ID-equation:3979)

        $\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\displaystyle\frac{u_{n,i+1}-2u_{n,i}+u_{n,i-1}}{\Delta x^2}$  Estimación de la Derivada de Segundo Orden

(ID-equation:3978)

        $u_{n+1,i}-u_{n,i}=\lambda (u_{n,i+1}-2u_{n,i}+u_{n,i-1})$  Esquema Explicito

(ID-equation:3980)

        $u_{n+1,i}-u_{n,i}=\lambda (u_{n+1,i+}-2u_{n+1,i}+u_{n+1,i-1})$  Esquema Implícito

(ID-equation:3981)

        $u_{n+1,i}-u_{n,i}=\displaystyle\frac{\lambda}{2} [(u_{n+1,i+}-2u_{n+1,i}+u_{n+1,i-1})+(u_{n,i+}-2u_{n,i}+u_{n,i-1})]$  Esquema de Crank-Nicolson

(ID-equation:3982)

         

  Narrativa: Redes


          Modelo de red electrica

(ID-description:[email protected]©20170518)

        $I_{ij-kl}=\displaystyle\frac{V_{kl}-V_{ij}}{R_{ij-kl}}$  Corriente

(ID-equation:[email protected]©20170518)

        $\displaystyle\frac{d}{dt}Q_{ij} = -\sum_{kl}I_{ij-kl}$  Variación de la carga

(ID-equation:[email protected]©20170518)

        $I_{ij-kl}=\displaystyle\frac{Q_{kl}-Q_{ij}}{R_{ij-kl}C_{ij-kl}}$  Corriente en función de las cargas

(ID-equation:[email protected]©20170518)

        $\displaystyle\frac{d}{dt}Q_{ij} = -\sum_{kl}\displaystyle\frac{Q_{kl}-Q_{ij}}{R_{ij-kl}C_{ij-kl}}$  Ecuación en función de la carga

(ID-equation:[email protected]©20170518)

        $V_n=\displaystyle\frac{Q_n}{C_n}$  Condiciones de borde

(ID-equation:[email protected]©20170518)

      

  Titulo: 8.2 Soluciones y Errores

         

  Narrativa: Soluciones


        $\vec{u}^n=\begin{pmatrix}u_1^n\\u_2^n\\u_3^n\\\ldots\\u_N^n\\\end{pmatrix}$  Notación Vectorial

(ID-equation:4018)

        $\vec{u}^{n+1}=E(\lambda)\vec{u}^n$  Esquema Explicito en Notación Matricial

(ID-equation:3985)

        $E(\lambda)=\begin{pmatrix}1-2\lambda & \lambda & 0 & \ldots & 0 & 0\\ \lambda & 1-2\lambda & \lambda & \ldots & 0 & 0\\0 & \lambda & 1-2\lambda & \ldots & 0 & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda & 1-2\lambda \\\end{pmatrix}$  Matriz Esquema Explicito

(ID-equation:4019)

        $0\leq\lambda\leq\displaystyle\frac{1}{2\sin^2(\omega\Delta x/2)}$  Ejemplo Esquema Directo

(ID-equation:3994)

        $E(-\lambda)\vec{u}^{n+1}=\vec{u}^n$  Esquema Indirecto en Notación Matricial

(ID-equation:3986)

        $\vec{u}^{n+1}=E(-\lambda)^{-1}\vec{u}^n$  Solución del Esquema Indirecto en Notación Matricial

(ID-equation:3987)

        $E(-\lambda/2)\vec{u}^{n+1}=E(\lambda/2)\vec{u}^n$  Esquema Crank-Nicolson en Notación Matricial

(ID-equation:3988)

        $C_{\pm}=E(\mp\lambda/2)$  Matriz Esquema Crank-Nicolson

(ID-equation:4020)

        $\vec{u}^{n+1}=E(-\lambda/2)^{-1}E(\lambda/2)\vec{u}^n$  Solución Esquema Crank-Nicolson en Notación Matricial

(ID-equation:3989)

         

  Narrativa: Errores


        $u_j^n=a^n(\omega)e^{ij\omega\Delta x}$  Estabilidad de la Solución

(ID-equation:3991)

        $G(\omega)=\displaystyle\frac{a^{n+1}(\omega)}{a^n(\omega)}$  Factor de Estabilidad

(ID-equation:3993)

        $|G(\omega)|\leq 1$  Condición de Estabilidad

(ID-equation:3992)

        $\epsilon_t=\displaystyle\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\Delta t$  Dependencia Temporal del Error

(ID-equation:3990)

   

  Titulo: 9 Sistemas Complejos

      

  Titulo: 9.1 Automatas Celulares

         

  Narrativa: Estructura de los Automatas Celulares


          Estructura de un Autómata Celular

(ID-description:[email protected]©20170621)

          Sistema 1D: Modelo de opinión compartida

(ID-image:[email protected]©20170621)

          Celdas 2D: Vecinos según Moore

(ID-image:[email protected]©20170621)

          Celdas 2D: Vecinos según Neumann

(ID-image:[email protected]©20170621)

          Juego de predador y presa

(ID-image:[email protected]©20170621)

          Creación del escenario

(ID-image:[email protected]©20170621)

          Regla de cría

(ID-image:[email protected]©20170621)

          Regla de predadores

(ID-image:[email protected]©20170621)

          Regla de presas

(ID-image:[email protected]©20170621)

         

  Narrativa: Juego de la Vida de Conway


          Juego de la Vida de Conway

(ID-image:[email protected]©20170621)

          Formas de vida básicas

(ID-image:[email protected]©20170621)

          El eater o comedor

(ID-image:[email protected]©20170621)

          El glider o planeador

(ID-image:[email protected]©20170621)

          Otras formas

(ID-image:[email protected]©20170621)

      

  Titulo: 9.2 Criticidad Autorganizada

         

  Narrativa: Criticidad Autoorganizada


          Concepto de Estabilidad

(ID-description:880)

          Invariante de Escala

(ID-description:881)

         

  Narrativa: Aplicaciones


          Modelo de Avalanchas

(ID-description:882)

          Regla Rico se vuelve más Rico

(ID-description:883)

          Modelo de Terremotos

(ID-description:884)

          Modelo de Ecosistema de Bak-Sneppen

(ID-description:885)

          Largas Colas

(ID-description:886)

      

  Titulo: 9.3 Redes Neuronales

         

  Narrativa: Redes Neuronales


        $err=\sum_j\mid \sum_i\omega_ix_{i,j}-\omega_0-\nu_j\mid$  Calidad del Algoritmo

(ID-equation:4148)

          Arquitectura de las Redes

(ID-description:895)

          Proceso de Aprendizaje No Supervisado

(ID-description:898)

          Proceso de Aprendizaje

(ID-description:896)

        $\Delta\omega_{ij}=\eta(x_j-\omega_{i*j})\delta_{i,i*}$  Aprendizaje Competitivo

(ID-equation:4147)

          Proceso de Aprendizaje Supervisado

(ID-description:897)

         

  Narrativa: Implementación


        $y=\theta(\sum_i\omega_ix_i-\omega_0)$  Modelo de McCulloch y Pitts

(ID-equation:4143)

        $\Delta\omega_{ij}=\eta(\bar{r}_{ij}-r_{ij})$  Regla de Boltzmann

(ID-equation:4146)

        $y=\theta(\sum_i\omega_ig_i(x_i)-\omega_0)$  Generalización del modelo de McCulloch y Pitts

(ID-equation:4144)

        $g(x)=\displaystyle\frac{1}{1+e^{-\beta x}}$  Ejemplo de Función de Activación

(ID-equation:4145)

        $\omega_{ij}(t+\Delta t)=\omega_{ij}(t)+\eta x_i(t)y_j(t)$  Regla de Hubb

(ID-equation:4149)

      

  Titulo: 9.4 Desarrollo de Redes

         

  Narrativa: Desarrollo de Redes


          Mundo pequeño

(ID-description:911)

          Red del tipo Barabasi-Albert

(ID-image:912)

          Concepto de Redes Aleatorias

(ID-image:2046)

          Modelo de Erdös-Rényi

(ID-image:2047)

          Red del tipo Watts-Strogatz

(ID-image:2048)

          Cambio de Fase

(ID-image:2049)

          Criticidad del Promedio de Nexos por Nodo

(ID-image:2050)

        $C=\displaystyle\frac{L_i}{L_t}$  Caracterización de Grupos

(ID-equation:4178)

        $C_i=\displaystyle\frac{2n_i}{k_i(k_i-1)}$  Coeficiente de Cluster o Grupo

(ID-equation:4179)

        $d=\displaystyle\frac{\log N}{\log\bar{k}}$  Numero medio de Vecinos

(ID-equation:4180)

        $C=\farc{1}{k}$  Coeficiente de Cluster o Grupo de una Red Barabasi-Albert

(ID-equation:4181)

        $P(G(N,p))=p^L(1-p)^{N(N-1)/2-L}$  Probabilidad de un Grafo

(ID-equation:4182)

        $P(k)=\displaystyle\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$  Aproximación por una Distribución de Poisson

(ID-equation:4183)

        $\bar{k}=p(N-1)$  Número Medio de Nexos por Nodo

(ID-equation:4184)

        $P(L)=\begin{pmatrix} \begin{pmatrix}N\\2\end{pmatrix} \\ L \end{pmatrix}p^L(1-p)^{N(N-1)-L}$  Probabilidad de un Número de Nexos

(ID-equation:4185)

        $\bar{L}=p\displaystyle\frac{N(N-1)}{2}$  Número Medio de Nexos

(ID-equation:4186)

        $P(k)=\begin{pmatrix} N-1 \\ k \end{pmatrix}p^kp^{N-1-k}$  Probabilidad de un número de Nexos por Nodo

(ID-equation:4187)

        $\lambda = pN$  Número Medio de Nexos por Nodo

(ID-equation:4188)

        $S=1-e^{-\bar{k}S}$  Elementos no Asociados a el Cluster

(ID-equation:4189)

        $C_i=p$  Calculo del Coeficiente de Cluster o Grupo

(ID-equation:4190)

        $P(k)\sim \displaystyle\frac{1}{k^3}$  Distribución del Número de Nexos en una Red Barabasi-Albert

(ID-equation:4191)

        $d\sim \displaystyle\frac{\ln N}{\ln(\ln N)}$  Camino promedio en una Red Barabasi-Albert

(ID-equation:4192)

      

  Titulo: 9.5 Algoritmos Genéticos

         

  Narrativa: Algorítmos Genéticos


          Origen del Método Genético

(ID-image:2055)

          Lógica del Método Genético

(ID-image:2054)

          Un Crossover

(ID-image:2056)

          Dos Crossover

(ID-image:2057)

          Mascara

(ID-image:2058)

          Selección/Subrevivencia

(ID-image:2060)

          Resultado de Mutaciones

(ID-image:2059)

          Reproducción

(ID-description:915)

          Ejemplo MAXOnes

(ID-description:914)

          Otro ejemplo: el Vendedor Viajero

(ID-image:2061)

          Problema de un Mínimo puntual

(ID-image:2063)

          Reproducción asexual

(ID-image:2062)

      

  Titulo: 9.6 Modelos de Celdas para Flujo de Liquidos

         

  Narrativa: Método de Celdas de Boltzmann (LBM)


          Problema de resolver la Ec. de Navier Stokes

(ID-description:923)

          Método de Celdas de Boltzmann

(ID-description:924)

        $\displaystyle\frac{df}{dt}=-\displaystyle\frac{f-f^0}{\tau}$  Ecuación de Transporte de Boltzmann

(ID-equation:6881)

        $f_i(\vec{x}+\vec{e}_i\delta t,t+\delta t)=f_i(\vec{x},t)+\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_i^0-f_i)$  Algoritmo

(ID-equation:6879)

        $\rho = \sum_if_i$  Densidad

(ID-equation:6923)

        $\rho\vec{u}=\sum_if_i\vec{e}_i$  Momento

(ID-equation:6924)

         

  Narrativa: Solución numérica de la Ec. de Navier Stokes


          Ejemplo de Dan Schroeder

(ID-iframe:6915)

          Uso de Automatas Celulares

(ID-description:6880)

        $\rho=n+nN+nNE+nE+nSE+nS+nSW+nW+nNW$  Calculo de Densidad

(ID-equation:6916)

        $\rho u_x=nE+nNE+nSE-nW-nNW-nSW$  Calculo del Momento en $X$

(ID-equation:6917)

        $\rho u_y=nN+nNE+nNW-nS-nSE-nSW$  Calculo del Momento en $Y$

(ID-equation:6918)

        $f^{(0)}_i(\vec{e}_i)=\displaystyle\frac{m}{2\pi kT}e^{-m|\vec{e}_i|^2/2kT}$  Distribución en Equilibrio

(ID-equation:6919)

        $f^{(0)}_i=\displaystyle\frac{m}{2\pi kT}e^{-m|\vec{e}_i-\vec{u}|^2/2kT}$  Distribución en caso de Flujo

(ID-equation:6920)

        $n_i^{(0)}= \rho\omega_i(1 + 3\vec{e}_i\cdot\vec{u}+\displaystyle\frac{9}{2}(\vec{e}_i\cdot\vec{u})^2-\displaystyle\frac{3}{2}|\vec{u}|^2)$  Aproximación de Número de Partículas en Equilibrio

(ID-equation:6921)

        $n_i(t+\delta t)=n_i(t)+\displaystyle\frac{1}{\tau}(n_i^{(0)}-n_i(t))$  Iteración para el Calculo del Número de Partículas

(ID-equation:6922)

   

  Titulo: 0 Sistema

      

  Titulo: 0 Diálogos

         

  Narrativa: Label


          Código básico

(ID:[email protected]©20170624)

         

  Narrativa: Text


          Código básico

(ID-description:[email protected]©20170624)

         

  Narrativa: Disabled


          Código básico

(ID-description:[email protected]©20170624)

         

  Narrativa: Textarea


          Código básico

(ID-description:[email protected]©20170624)

         

  Narrativa: Checkbox


          Código básico

(ID-description:[email protected]©20170624)

         

  Narrativa: Radio


          Código básico

(ID-description:[email protected]©20170624)

      

  Titulo: 0 Gráficas

         

  Narrativa: Curvas D2


         

  Narrativa: Superficie D3


         

  Narrativa: Arbol TREE


         

  Narrativa: Formas SHAPES


         

  Narrativa: Red NET


         

  Narrativa: Grillas Grid


          Código básico

(ID-description:[email protected]©20170624)

         

  Narrativa: Niveles CONTOURS


         

  Narrativa: Images IMAGE


          Código básico

(ID-description:[email protected]©20170624)

      

  Narrativa: Codificación


        Codificación del simulador

(ID-description:[email protected]©20171106)

        Codificación de los parámetros

(ID-description:[email protected]©20171106)

        

(ID-description:[email protected]©20171106)

        Codificación de las gráficas

(ID-description:[email protected]©20171106)

        Componente 2D - curvas

(ID-description:[email protected]©20171106)

        

(ID-description:[email protected]©20171106)

        Codificación del código

(ID-description:[email protected]©20171106)

      

  Narrativa: Bases de Javascript


        Definiciones de Variables

(ID-description:[email protected]©20171106)

        Asignación de Valores

(ID-description:[email protected]©20171106)

        Iteración

(ID-description:[email protected]©20171106)

        Loop - for

(ID-description:[email protected]©20171106)

        

(ID-description:[email protected]©20171106)

        Escalas

(ID-description:[email protected]©20171106)

        Formar Arreglo

(ID-description:[email protected]©20171106)

      

  Narrativa: Elementos de D3.js