Curso: LBM Workshop

   

  Titulo: Monte Carlo

      

  Narrativa: Propagación de partículas


        Propagación

(ID-description:[email protected]©20180103)

        Concepto de Scattering

(ID-image:[email protected]©20180108)

        Probabilidad de colisión en función de la distancia

(ID-image:[email protected]©20180103)

        Probabilidad de colisión

(ID-image:[email protected]©20180108)

      $\bar{Z}=\displaystyle\frac{\sum_iN_iZ_i}{\sum_iN_i}$  Número de Objetos

(ID-equation:[email protected]©20180108)

      $c_c=\bar{Z}c_N$  Concentración de objetivos de colisión

(ID-equation:[email protected]©20180108)

      $\lambda=\displaystyle\frac{1}{\sigma_cc_c}$  Concepto de camino libre

(ID-equation:[email protected]©20180108)

      $dp=\sigma_cdx\,c_c$  Probabilidad de colisiones

(ID-equation:[email protected]©20180108)

      $p(x)=\sigma_cc_ce^{-\sigma_cc_cx}$  Probabilidad de que ocurra una colisión a una distancia $x$

(ID-equation:[email protected]©20180103)

      $p(x)dx=\displaystyle\frac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda}dx$  Probabilidad de colisiones en función del camino libre

(ID-equation:[email protected]©20180103)

      

  Narrativa: Modelamiento con material homogéneo (1D)


      $p(x)dx = \displaystyle\frac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda}dx$  Distribución de distancias recorridas

(ID-equation:[email protected]©20171214)

      $\displaystyle\int_0^{\infty}p(x)dx = \displaystyle\int_0^{\infty}\displaystyle\frac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda}dx=1$  Normalización

(ID-equation:[email protected]©20180108)

      $\langle x\rangle=\lambda$  Camino libre en función de la distribución

(ID-equation:[email protected]©20180104)

        Camino libre de un fotón

(ID-image:[email protected]©20180108)

        Camino libre de varias partículas

(ID-image:[email protected]©20180108)

        Estructura del código (1)

(ID-description:[email protected]©20180108)

      $x=-\lambda\ln(1-P)$  Estimación de camino

(ID-equation:[email protected]©20180108)

        Estructura del código (2)

(ID-description:[email protected]©20180108)

        Simulador camino aleatorio paso variable

(ID-php:[email protected]©20171211)

        Conclusiones

(ID-description:[email protected]©20180103)

      

  Narrativa: Modelamiento con material inhomogeneo (1D)


      $P(x,x_0)=\displaystyle\int_{x_0}^x\displaystyle\frac{du}{\lambda(u)}e^{-(u-x_0)/\lambda(u)}$  Problema de la probabilidad variable

(ID-equation:[email protected]©20171215)

      $x_n=na$  Modelamiento del material

(ID-equation:[email protected]©20171214)

      $P_{ij}=\displaystyle\sum_{k=i}^j \displaystyle\frac{a}{\lambda_k}e^{-(k-i)a/\lambda_k}$  Probabilidad para el caso discreto

(ID-equation:[email protected]©20171215)

      $\mu_k=\displaystyle\frac{a}{\lambda_k}$  Probabilidad de colisión

(ID-equation:[email protected]©20171214)

      $P_{ij}=\displaystyle\sum_{k=i}^j \mu_k e^{-|k-i|\mu_k}$  Ecuación de propagación simplificada

(ID-equation:[email protected]©20171215)

        Algoritmo para simular modelo material inhomogeneo

(ID-description:[email protected]©20171215)

        Simulador material inhomogeneo

(ID-php:[email protected]©20171215)

      

  Narrativa: Modelamiento con Scattering (2D)


      $\sigma_{KN}=\displaystyle\frac{3}{4}\sigma_T\left(\displaystyle\frac{(1+\epsilon)}{\epsilon^3}\left(\displaystyle\frac{2\epsilon(1+\epsilon)}{1+2\epsilon}-\log(1+2\epsilon)\right)+\displaystyle\frac{\log(1+2\epsilon)}{2\epsilon}-\displaystyle\frac{(1+3\epsilon)}{(1+2\epsilon)^2}\right)$  Sección eficaz total de scattering de Compton

(ID-equation:[email protected]©20171106)

      $\displaystyle\frac{d\sigma_{KN}}{d\Omega}=\displaystyle\frac{3}{16\pi}\displaystyle\frac{\sigma_T}{(1+\epsilon(1-\cos\theta))^2}\left(\epsilon(1-cos\theta)+\displaystyle\frac{1}{1+\epsilon(1-\cos\theta)}-\cos^2\theta\right)$  Sección eficaz diferencial de scattering de Compton

(ID-equation:[email protected]©20171106)

      $\lambda'=\lambda+\lambda_c(1-\cos\theta)$  Scattering de Compton

(ID-equation:[email protected]©20171106)

      $\lambda_c=\displaystyle\frac{h}{m_ec}$  Largo de onda de Compton

(ID-equation:[email protected]©20171106)

      $d\Omega=2\pi \sin\theta d\theta$  Ángulo sólido

(ID-equation:[email protected]©20171106)

        Compton Scattering

(ID-image:[email protected]©20171106)

        Scattering

(ID-image:[email protected]©20171106)

      $\sigma_T=\displaystyle\frac{8\pi}{3}r_0^2$  Sección eficaz total de Thomson

(ID-equation:[email protected]©20171106)

      $\epsilon=\displaystyle\frac{E}{m_ec^2}$  Energía normalizada

(ID-equation:[email protected]©20171106)

        Simulador camino aleatorio con scattering de Compton

(ID-php:[email protected]©20171106)

      

  Narrativa: Agregar y Reducción de Partículas


        Partículas secundarias a generar

(ID-description:[email protected]©20171106)

        Partículas a ser reducidas

(ID-description:[email protected]©20171106)

      

  Narrativa: Número de Partículas y Dispersión del Resultado


        Combinatorica

(ID-description:[email protected]©20171106)

        Simulador de combinatorica

(ID-php:[email protected]©20171106)

        Reduciendo combinaciones

(ID-description:[email protected]©20171106)

      

  Narrativa: Propagación en más dimensiones


        Probabilidad de Transición

(ID-description:[email protected]©20171106)

      $P_{ij}=\displaystyle\sum_{k=i}^j \displaystyle\frac{\mu_k}{\cos\theta} e^{-|k-i|\mu_k}$  Propagación en dos dimensiones

(ID-equation:[email protected]©20171215)

      $P_{ij}=\displaystyle\sum_{k=i}^j \displaystyle\frac{\mu_k}{\sin\theta\cos\phi} e^{-|k-i|\mu_k}$  Propagación en tres dimensiones

(ID-equation:[email protected]©20171215)

        Probabilidad de nuevo Estado

(ID-description:[email protected]©20171106)

   

  Titulo: Método de Celdas de Boltzmann

      

  Narrativa: Función Distribución basada en el Cuadro MCM


        Lattice Boltzmann Method

(ID-description:[email protected]©20170726)

        Introducción de Distribuciones

(ID-description:[email protected]©20170724)

        Distribuciones en Posición y Momento

(ID-description:[email protected]©20170724)

      

  Narrativa: Ecuación de Transporte de Boltzmann


      $\rho(\vec{x},t) = m\displaystyle\int f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$  Densidad

(ID-equation:[email protected]©20180629)

      $\vec{u}(\vec{x},t) = \displaystyle\frac{m}{\rho}\int \vec{v}f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$  Velocidad de flujo

(ID-equation:[email protected]©20180629)

      $T(\vec{x},t) = \displaystyle\frac{m}{3R\rho}\displaystyle\int (\vec{v}\cdot\vec{v})f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$  Temperatura

(ID-equation:[email protected]©20180629)

      $\sigma_{ij} = m\displaystyle\int (v_i-u_i)(v_j-u_j)f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$  Tensor de tensión

(ID-equation:[email protected]©20180629)

      $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}+v_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}=C(f)$  Ecuación de Boltzmann

(ID-equation:[email protected]©20170726)

      

  Narrativa: Discretización y Estructura de Celdas del Enfoque LBM


      $f_i(\vec{x},t)=w_if(\vec{x},\vec{v}_i,t)$  Función de discretización

(ID-equation:[email protected]©20170726)

        Cellular Automata

(ID-image:[email protected]©20170724)

      $c=\displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}$  Velocidad de partículas

(ID-equation:[email protected]©20170724)

      $\eta=\displaystyle\frac{\rho(2\tau -1)}{6}\displaystyle\frac{\Delta x^2}{\Delta t}$  Dispersión

(ID-equation:[email protected]©20170724)

        Modelos D2Q9 (2 dimensiones, 9 puntos)

(ID-image:[email protected]©20170726)

        Modelos D3Q15 (3 dimensiones, 15 puntos)

(ID-image:[email protected]©20170726)

      

  Narrativa: Ecuación de Colisión


      $f_i(\vec{x}+c\vec{e_i}\delta t,t+\delta t)=f_i(\vec{x},t)+\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_i^{eq}(\vec{x},t)-f_i(\vec{x},t))\delta t$  Ecuación LBM en la aproximación de relajación

(ID-equation:[email protected]©20170726)

      $f_i^{eq}=\displaystyle\frac{m}{2\pi kT}e^{-m|c\vec{e}_i-\vec{u}|^2/2kT}$  Distribución en Equilibrio (Gas de Particulas)

(ID-equation:[email protected]©20170726)

      $f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_1',\vec{v}_2')d\vec{v}_1'd\vec{v}_2'$  Cálculo de colisiones

(ID-equation:[email protected]©20180629)

      $\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{in}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_2d\vec{v}_1'f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_1',\vec{v})$  Colisiones que contribuyen

(ID-equation:[email protected]©20180629)

      $\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{out}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_1'd\vec{v}_2'f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v},t)|\vec{v}-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v},\vec{v}_1\rightarrow\vec{v}_1',\vec{v}_2')$  Colisiones que abandonan la celda

(ID-equation:[email protected]©20180629)

      $\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_{in}-f_{out})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}'d\vec{v}_1'(f(\vec{x},\vec{v}',t)f(\vec{x},\vec{v}_1',t)-f(\vec{x},\vec{v},t)f(\vec{x},\vec{v}_1,t))|\vec{v}-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v},\vec{v}_1\rightarrow\vec{v}',\vec{v}_1')$  Colisiones totales

(ID-equation:[email protected]©20180629)

      $\displaystyle\frac{df}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_{in}-f_{out})$  Colisiones

(ID-equation:[email protected]©20180629)

      

  Narrativa: Ecuación de Propagación


        Rebote en paredes ortogonales a la red

(ID-image:[email protected]©20170726)

        Rebote en paredes con inclinación

(ID-image:[email protected]©20170726)

      $f_i(\vec{x},t)\leftarrow f_i(\vec{x}+ce_i\delta t,t+\delta t)$  Streaming

(ID-equation:[email protected]©20170726)

        Ejemplo Ecuaciones de Streaming

(ID-description:[email protected]©20170726)

      

  Narrativa: Solución clásica LBM en la aproximación BGK


      $\displaystyle\frac{df}{dt}=-\displaystyle\frac{1}{\tau}(f-f^{(0)})$  Aproximación de Relajación

(ID-equation:[email protected]©20180629)

      $f_i^{eq}=\displaystyle\frac{m}{2\pi kT}e^{-m|c\vec{e}_i-\vec{u}|^2/2kT}$  Distribución en Equilibrio (Gas de Particulas)

(ID-equation:[email protected]©20170726)

      $f_i^{eq}=\rho\omega_i\left(1+\displaystyle\frac{3\vec{u}\cdot\vec{e}_i}{c}+\displaystyle\frac{9(\vec{u}\cdot\vec{e}_i)^2}{2c^2}-\displaystyle\frac{3u^2}{2c^2}\right)$  Aproximación de Bhatnagar-Gross-Krook

(ID-equation:[email protected]©20180629)

        Ejemplo de Desidad

(ID-description:[email protected]©20170724)

        Ejemplo de Velocidad en x

(ID-description:[email protected]©20170724)

        Ejemplo de Velocidad en y

(ID-description:[email protected]©20170724)

        Ejemplo de elemento de Colisión

(ID-description:[email protected]©20170726)

        Ejemplo Simulador Hidrodinámico

(ID-description:[email protected]©20170726)

   

  Titulo: Calculo de Dosis

      

  Narrativa: Extendiendo la Solución a Bosones y Fermiones


        Limite equilibrio

(ID-description:[email protected]©20170725)

        Caso Fotones

(ID-description:[email protected]©20170725)

      $f^{eq}_i=\displaystyle\frac{1}{e^{\beta (m_ev_i^2/2-\mu)}+1}$  Caso Electrones

(ID-equation:[email protected]©20170726)

      

  Narrativa: Explorar la solución LBM para Fotones


      $f_i^{eq}=\displaystyle\frac{1}{m-1}\displaystyle\frac{1}{e^{\hbar\omega/kT}-1}$  Photones Termicos

(ID-equation:[email protected]©20170726)

      $\displaystyle\frac{1}{c}\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}L(\vec{x},\hat{n},t)+\hat{n}\cdot\nabla L(\vec{x},\hat{n},t)=-\mu_tL(\vec{x},\hat{n},t)+\mu_s\int_{4\pi}L(\vec{x},\hat{n}',t)P(\hat{n}',\hat{n})d\Omega'+S(\vec{x},\hat{n},t)$  Ecuación de Transporte Radiativo (RTE)

(ID-equation:[email protected]©20170725)

      $L_i(\vec{x},\hat{n},t)=\displaystyle\int d\nu L_{i,\nu}(\vec{x},\hat{n},t)$  Radiancia en Función de la Radiancia Espectral

(ID-equation:[email protected]©20170725)

      $\Phi(\vec{x},t)=\displaystyle\int_{4\pi} L(\vec{x},\hat{n},t)d\Omega=\sum_iL_i(\vec{x},\hat{n},t)$  Flujo radiante

(ID-equation:[email protected]©20170725)

      $L_i(\vec{x},t)=\displaystyle\frac{\partial^2\Phi_i(\vec{x},t)}{\partial\Omega\partial S\cos\theta}$  Radiancia en Función de Flujo radiativo

(ID-equation:[email protected]©20170725)

      $I_{\Omega}=\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial\Omega}$  Intensidad radiativa

(ID-equation:[email protected]©20170725)

      $\Phi(\vec{x},t)=\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial t}$  Flujo radiante en Función de la Energía

(ID-equation:[email protected]©20170725)

      

  Narrativa: Explorar la solución LBM para Electrones


        Choques elasticos

(ID-description:[email protected]©20170725)

        Exitación y deexitación

(ID-description:[email protected]©20170725)

        Absorción

(ID-description:[email protected]©20170725)

        Colisión electrón-electrón

(ID-description:[email protected]©20170725)

      

  Narrativa: Integrando Soluciones para el caso de Radioterapia


        Distribuciones

(ID-description:[email protected]©20170725)

        Relajación e interacciones

(ID-description:[email protected]©20170725)

      

  Narrativa: Anisotropía de Partículas Primarias y Secundarias


        Problemática de la anisotropia

(ID-description:[email protected]©20170725)

        Situación de la estimación del TCP

(ID-description:[email protected]©20170725)

        Situación de la estimación del NTCP

(ID-description:[email protected]©20170725)

   

  Titulo: Aplicación

      

  Narrativa: Celdas LBM como estructura de Voxels


        Definir Voxels

(ID-description:[email protected]©20170724)

      

  Narrativa: Breve Revisión del Modelo de Zaider-Minerbo (ZMM)


      $\displaystyle\frac{d}{dt}P_i=(i-1)bP_{i-1}-i[b+d+h(t)]P_i+(i+1)(d+h(t))P_{i+1}$  Ecuación de Probabilidad Modelo Zaider-Minerbo

(ID-equation:[email protected]©20170724)

      $A(s,t)=\sum_{i=0}^{\infty}P_i(t)s^i$  Función Generatriz

(ID-equation:[email protected]©20170724)

      $\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}A(s,t)=(s-1)[bs-d-h(t)]\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}A(s,t)$  Ecuación del Modelo de Zaider-Minerbo

(ID-equation:[email protected]©20170724)

      $\Lambda(t)=e^{-\displaystyle\int_0^t[b-d-h(t')]dt'}$  Factor Lambda

(ID-equation:[email protected]©20170724)

      $h(t)=(\alpha+2\beta D(t))\displaystyle\frac{dD}{dt}$  Función de Mortandad

(ID-equation:[email protected]©20170724)

      $\displaystyle\frac{d}{dt}N=bN-(d+h(t))N$  Dinámica de Celulas

(ID-equation:[email protected]©20170724)

      

  Narrativa: Cálculo del TCP basado en LBM y ZMM


      $TCP(t)=\prod_{i=1}^M\left[1-\displaystyle\frac{1}{\left(\Lambda(t)+b\displaystyle\int_0^t\Lambda(u)du\right)}\right]^{v_i}$  Solución del Modelo Zaider Minerbo

(ID-equation:[email protected]©20170724)

        Simulador Modelos Posisson y Zaider Minerbo

(ID-html:[email protected]©20170724)

      $\displaystyle\frac{d}{dt}N=f(N)-(d+h(t))N$  Corrección al Modelo de Zaider Minerbo

(ID-equation:[email protected]©20170724)

      

  Narrativa: Breve Revisión del modelo de Lyman-Kutcher-Burman (LBK)


        Modelo de Lyman-Kutcher-Burman (NTCP)

(ID-image:[email protected]©20180709)

      $NTCP=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^t e^{-u^2/2}du$  Probabilidad de Complicaciones con Modelo LKB

(ID-equation:[email protected]©20180608)

      $t=\displaystyle\frac{D_{eff}-TD_{50}}{mTD_{50}}$  Factor $t$ el Modelo LKB

(ID-equation:[email protected]©20180608)

      $D_{eff}=\left(\sum_iv_iD_i^{1/n}\right)^n$  Dosis Efectiva en el Modelo LKB

(ID-equation:[email protected]©20180608)

        Datos Modelo LKB

(ID-description:[email protected]©20170724)

      

  Narrativa: Discusión de la Dosis efectiva del Método LBK para calculo del NTCP


      $NTCP=\displaystyle\frac{1}{1+e^{-1.5976t-0.07056t^3}}$  Aproximación de la Función NTCP en el Modelo LKB

(ID-equation:[email protected]©20180608)

        Simulador de Lyman-Kutcher-Burman (NTCP)

(ID:[email protected]©20170724)